盖天说与浑天说——古人的宇宙模型

原典

天圆地方，四面皆水。

——《周髀算经》卷上（盖天说）

天象盖笠，地法覆槃。

——《周髀算经》卷下（盖天说）

天如鸡子，地如鸡中黄。天地各乘气而立，载水而浮。

——张衡《灵宪》（浑天说）

这段话说的是什么

这是三句话，也是两套宇宙模型。 前两句说「天圆地方」「天象盖笠」，合起来叫盖天说；后一句说「天如鸡子」，是另一套模型，叫浑天说。它们都不是随口一说的比喻，而是各自带着完整几何图形的模型——有形状、有尺寸，还能算出具体数字。古人争的不是谁的说法好听，而是谁算得准。

盖天说：天象盖笠，地法覆槃

盖天说把天地想成一把伞和一只倒扣的盘子。 天是圆的，像一个巨大的斗笠（盖笠）罩在大地之上；地是方的，像一张摊开的棋盘，四边微微向下垂（覆槃）。日月星辰都附着在天盖内侧，跟着天盖一起旋转，于是有了昼夜交替、四季轮回。

这套模型的几何骨架极其简单：一个球冠扣在一个平面上。 天盖是半圆形穹顶，大地是一块平板，两者在最远处相接。太阳在穹顶内部运行，离大地时高时低——近就是夏天，远就是冬天。前面的七衡六间图，就是给这个穹顶画上的七个同心圆轨道。

盖天说最大的好处是能算。 既然天是穹顶、地是平面、光线走直线，那么一竖一横之间就到处是直角三角形。勾股定理管竖直与水平的关系，相似三角形管远近与大小的关系，太阳的高度、离人的距离、影子的长短，全都能算出来。日高测量术正是架在这个平面几何模型上的。

浑天说：天体圆如弹丸，地如鸡中黄

浑天说把整个宇宙想成一枚鸡蛋。 天是一层浑圆的壳，地是蛋中央的那颗蛋黄；天包着地，地悬在天里，靠「气」托着浮在水上。浑天说的关键一步，是把「天」从半个穹顶换成了完整的一个球。

换成球，地就跟着要变成圆的。 如果天是一整层球壳，地却仍是一块平板，那么这块平板的两头迟早会戳破天壳。要让「天包地」成立，地就只能缩成一个球，稳稳待在正中央。这就是「地如鸡中黄」的真正含义——蛋黄是圆的，所以地也得是圆的。

浑天说还多了一样盖天说没有的东西：轴。 浑圆的天球绕着一根轴转动，轴的两端就是北天极与南天极。有了这根轴，就能定出赤道、定出黄道，把每一颗星放进一张球面坐标网。张衡的浑天仪，就是这根轴和这张坐标网的实物模型。

示意图

盖天说（左）与浑天说（右）对比——盖天说认为天圆地方，浑天说认为地球是圆的。

两种模型的数学基础

模型不一样，撑起它的数学也不一样。 盖天说站在平面几何上，浑天说站在球面几何上，这是同一件事的两种数学语言。

盖天说的工具是勾股定理和相似三角形。 天为穹顶、地为平面，太阳的高度是一条竖直的边，影子是一条水平的边，再加上一条光线，就围成一个直角三角形。同一时刻在不同地点立表观测，两条光线都从太阳发出，与两根表构成一对相似三角形。用这一对相似三角形，就能从两个影长反过来推出太阳的高度。

浑天说的工具是球的度量与球面上的方向。 浑圆天球上，一颗星的位置要靠两个角度来定：一个角度说它绕轴转到了哪里，另一个角度说它离赤道有多远。这正是现代天文学赤道坐标系的雏形。浑天仪上一圈一圈的铜环，就是把球面上这些等值的方向线刻成实物。

两者最要命的差别，落在「平行」两个字上。 盖天说假设地是平的，不同地点的竖直表杆互相平行；浑天说假设地是球，两根竖直的杆子其实并不平行，延长之后会交于地心。这个差别在近处可以忽略，距离一远就被放大成误差。

七衡图与赤道黄道：两种模型的数学后果

模型的差别，最后都会变成一张图上的差别。 盖天说交出的是七衡图，浑天说交出的是赤道黄道网。

盖天说的答卷是七衡六间图：一组同心圆。 七个圆代表太阳在一年七个时段里的环形轨道，圆心就在观测者脚下的地面中心。圆与圆之间等差地向外扩张，所以每个圆的半径都能写成首项加上若干倍的公差。太阳在这七个圆之间来回移动，就演出了春夏秋冬。

浑天说的答卷是赤道与黄道：两个大圆。 赤道是天球上垂直于转动轴的「腰」，黄道是太阳一年里在天球上走过的那条大圆。两个大圆斜交成一个约 $23.5$ 度的角，古人管它叫黄赤交角。太阳每天在赤道附近东升西落，一年之中却在黄道上南北摆动——正是这个夹角造成了四季。

从同心圆到大圆，维度升高了一层。 七衡图的每条轨道只是平面上的一个圆，半径一变就换一条；赤道与黄道则是球面上的大圆，位置由它和轴的夹角唯一定住。一句话：盖天说用「远近」解释四季，浑天说用「角度」解释四季。

观测数据与模型预测的矛盾：为什么要改进

没有一个模型是被讲道理讲倒的，都是被算出来的。 盖天说曾经非常好用，它之所以失势，是因为它算出的数字和天上的现象对不上。

第一处矛盾出在太阳的大小上。 盖天说规定太阳高悬平地之上，离人极远。可日出日落时，太阳看起来比正午更大、更红。按平面上的远近模型，太阳在远处应当变小、变暗才对。「两小儿辩日」吵的就是模型算出的结论与眼睛所见相互打架。

第二处矛盾出在北极的高度上。 若天盖真是一个固定的穹顶，一个人往北走，看到的北极星就该始终停在同一高度。可实际上，越往北走北极星越高，越往南走越低，到了南方甚至看不见。同一片天盖不会对不同纬度的人摆出不同姿态，这个矛盾只能用「地是球、天是绕轴转的球」来化解。

第三处矛盾出在影长的比例上。 盖天说用同一个日高解释所有地点的影长，实测却发现，南北相距一千里的两地，正午影长差对不上平面几何算出的比例。要让影子对得上，光线的几何就得改；最省事的改法，就是把大地弯成球面。

三处矛盾指向同一个补丁：把平面换成球面。 浑天说不是凭空冒出来的新学说，而是被这些算不对的数字逼出来的修正方案。它保留了「天在动、日月附着于天」这些好用的部分，只把「平」改成了「圆」，代价是数学工具要整体升级——从勾股定理升到球面几何。

三个算例

前两个算例属于盖天说，第三个属于浑天说。 它们刚好把两套模型的数学工具各用了一遍。

算例一：用两次影长反推日高

这是盖天说的看家算法。 设表高 $h$ 尺，正午时在南北相距 $d$ 里的两地各立一表，测得影长分别为 $s_1$ 尺与 $s_2$ 尺，北地影长略长。太阳悬在正上方某点，高度为 $H$。影长与「表到日下点的水平距离」成正比，两根表与两条光线构成一对相似三角形，于是

$$\frac{s_1}{h} = \frac{x_1}{H}, \qquad \frac{s_2}{h} = \frac{x_2}{H} \qquad (1)$$

其中 $x_1 - x_2 = d$。把 $(1)$ 的两式相减：

$$\frac{s_1 - s_2}{h} = \frac{d}{H} \qquad\Longrightarrow\qquad H = \frac{h\,d}{s_1 - s_2} \qquad (2)$$

代入具体数字。 取表高 $h = 8$ 尺，两地相距 $d = 1000$ 里，北地影长 $s_1 = 1.6$ 尺，南地影长 $s_2 = 1.5$ 尺，影长差为 $0.1$ 尺。代入 $(2)$：

$$H = \frac{8 \times 1000}{0.1} = 80000 \qquad (3)$$

结果是日高八万里。 反过来验算：由 $x_1 = \dfrac{s_1 H}{h} = 16000$ 里，$x_2 = \dfrac{s_2 H}{h} = 15000$ 里，两者之差恰好是 $1000$ 里，与题设吻合。模型内部自洽——它的错，要等到拿别的观测去对才暴露。

算例二：七衡图的周长差

这是盖天说的图算。 古人取「周三径一」，把圆周率当作 $3$，圆的周长等于直径的 $3$ 倍。已知内衡（夏至日道）直径为 $238000$ 里，外衡（冬至日道）直径为 $476000$ 里，中间夹着六个间隔。先算两端的周长：

$$C_1 = 3 \times 238000 = 714000, \qquad C_7 = 3 \times 476000 = 1428000 \qquad (4)$$

七个圆的周长排成一个等差数列。 相邻两衡的周长差为

$$\Delta C = \frac{C_7 - C_1}{6} = \frac{1428000 - 714000}{6} = 119000 \qquad (5)$$

于是第 $n$ 个衡的周长是

$$C_n = 714000 + (n - 1)\times 119000 \qquad (6)$$

验算第 7 个衡。 代入 $n = 7$：$C_7 = 714000 + 6 \times 119000 = 1428000$，与外衡直径算出的周长一致。整张七衡图，用一条等差数列就画完了。

算例三：浑天说的球面度量

这是浑天说的算法。 既然地是圆的，它的度量就得用球的公式。取地球半径 $r = 6371$ 千米，球的表面积与体积为

$$S = 4\pi r^2, \qquad V = \frac{4}{3}\pi r^3 \qquad (7)$$

先算赤道一圈有多长。 赤道是一个大圆：

$$C = 2\pi r = 2 \times 3.1416 \times 6371 \approx 40030 \qquad (8)$$

单位是千米。把赤道一圈平分成 $360$ 度，每一度对应的弧长约

$$\frac{40030}{360} \approx 111.2 \qquad (9)$$

单位同样是千米。

再算地球的「皮肤」有多大。 表面积由 $(7)$ 求得：

$$S = 4\pi r^2 = 4 \times 3.1416 \times 6371^2 \approx 5.10 \times 10^{8} \qquad (10)$$

单位是平方千米。体积则为

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{r}{3} \times 4\pi r^2 = \frac{6371}{3} \times 5.10 \times 10^{8} \approx 1.08 \times 10^{12} \qquad (11)$$

单位是立方千米。

把两组结果放在一起看，差别一目了然。 盖天说算出的是一串长度：日高八万里、内衡周长七十一万四千里；浑天说算出的是一颗球的度量：四万千米的腰围、五点一亿平方千米的皮肤。前者画在图上，后者刻在浑天仪的铜环上。

现代数学视角

两种模型的争论，推动的正是数学本身。 为了让模型能算出数字、能对上观测，两边都不得不发展新的数学工具：

• 盖天说：平面几何（勾股定理、相似三角形）
• 浑天说：球面几何（球面三角形、经度与纬度）

在高中数学中，球体的体积和表面积公式是：

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3, \quad S = 4\pi r^2 \qquad (12)$$

从平面到球面，是数学工具的一次整体升级。 平面上的勾股定理，搬到球面上变成球面三角的余弦定理；平面上「两点之间线段最短」，在球面上换成「两点之间大圆弧最短」。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：从平面到球面，是人类对宇宙认识的深化。数学工具也随之发展——从平面几何到球面几何，从勾股定理到球面三角。更该记住的是这一步背后的态度：当观测数据与模型算出的数字打架时，要改的是模型，不是数据。

运算练兵场：球体的体积和表面积计算，以及由半径、周长、面积、体积中任一量推出其余各量的换算。

高考地位：球体与空间几何体是高考必考内容，外接球、内切球、截面圆这三类题，用的正是浑天说这套球面度量的基本功。

思考与拓展

1. 查资料：浑天说和盖天说，哪种更符合现代天文学？
2. 如果地球半径为 $6371$ 千米，计算地球的表面积和体积。
3. 球面三角形的三内角和大于 $180$ 度，为什么？
4. 用算例一的公式 $(2)$ 反过来想：若日高固定为八万里，表高八尺，两地相距二千里，两地的影长应当相差多少尺？

一句话总结

盖天说与浑天说——两种宇宙模型的争论，推动了中国古代数学和天文学的发展。