七衡六间图——太阳的运行轨道

原典

七衡六间，意在日月运行。各有一衡，衡有径有周。内衡为夏至日道，外衡为冬至日道，中衡为春秋分日道。

夏至之日，日出东北而入西南；冬至之日，日出东南而入西北。

这段话说的是什么

七衡六间图是《周髀算经》里唯一一张「画得出来」的宇宙模型图。 它把太阳一年走过的路画成七个同心圆，圆心是观测者头顶的北极——七个圆叫「衡」，圆与圆之间的六段空档叫「间」，合起来就是「七衡六间」。

「衡」取的是「横平、居中」的意思，古人借它命名太阳绕北极转出的那条圆轨道；「间」就是间隔，七条轨道之间夹出六段距离。十四个字的名字，把一张图的全部结构说完了：七个圆，六段空。

它回答的问题很实在：太阳每天走的圈，为什么一年到头不一样大。 盖天说给的答案是——太阳不是天天走同一条路，而是沿着七条大小不同的圆轨道，由内向外、再由外回内，走完一整年。

• 内衡（最小的圆）：夏至日道，离北极最近，太阳最高、白天最长；
• 中衡（正中间那个圆）：春分、秋分日道；
• 外衡（最大的圆）：冬至日道，离北极最远，太阳最低、白天最短。

先记住这三条骨架，其余四条都夹在中间。 内衡管夏至，外衡管冬至，中衡管春秋分——七衡六间图的一切推算，都从这三个锚点往外长。

示意图

七衡六间图——七个同心圆（衡）由内到外代表太阳在不同节气的日道：内衡夏至、中衡春秋分、外衡冬至；相邻两衡之间为一「间」，共六间。

古人的算法

一、太阳走的是圆，不是直线

先纠正一个直觉：古人并不认为太阳在南北方向来回平移，而认为它在天上绕着北极画圈。 太阳每天东升西落、周而复始，古人把这每天重复的轨迹补成一个完整的圆——白天看得见的那半圈露在地平线以上，看不见的半圈沉在地平线以下。

关键的一步在这里：这个圆的大小，一年之内是变的。 北极在北方天空高处，圆心就落在那里；太阳的圈离北极越近，白天越长，越远则白天越短。所以夏至的圈最小、最靠里，冬至的圈最大、最靠外。太阳在这七条圈之间来回挪动，把「日高日低」翻译成「圈大圈小」——这个模型就能拿尺子量、拿公式算了。

二、六间等分：七衡为什么排成等差数列

七衡不是随手画的七个圆，它们的周长一层层均匀地往外加。 这是《周髀算经》最硬的一批数据，也是整张图能被计算的原因。

周髀给内一衡的数字是「径二十三万八千里，周七十一万四千里」。 注意「径」指直径，不是半径。周髀全书取「周三径一」，把圆周率当成 $3$，于是

$$3 \times 238000 = 714000 \qquad (1)$$

周长分毫不差。外衡（冬至日道）的数字正好是内衡的两倍：直径 $476000$ 里，周长 $3 \times 476000 = 1428000$ 里。

六间等分，是把内衡到外衡的路平均切成六段。 两端周长相减，再除以 $6$：

$$\Delta C = \frac{1428000 - 714000}{6} = \frac{714000}{6} = 119000 \qquad (2)$$

于是七个衡的周长排成一串等差数列，首项 $714000$，公差 $119000$：

$$C_n = 714000 + (n - 1) \times 119000 \qquad (3)$$

中衡是第 4 个衡，离内衡隔了三间：

$$C_4 = 714000 + 3 \times 119000 = 1071000 \qquad (4)$$

换算成直径，$1071000 \div 3 = 357000$ 里，与周髀所记的中衡直径一致。

半径之间的关系比周长更漂亮。 因为取古率 $\pi = 3$，$C = 2\pi r = 6r$，半径就等于周长除以 $6$：内衡 $r_1 = 714000 \div 6 = 119000$ 里，中衡 $r_4 = 1071000 \div 6 = 178500$ 里，外衡 $r_7 = 1428000 \div 6 = 238000$ 里。三者的比是 $119000 : 178500 : 238000 = 2 : 3 : 4$，中衡的半径恰好是内衡与外衡半径的算术平均：$(119000 + 238000) \div 2 = 178500$。

三、二十四节气落在七衡图的哪个位置

七衡能配二十四节气，是因为「六间」正好把太阳半年的行程等分了。

第一步，钉死三个锚点。 周髀把三条轨道直接对应到三个节气：内衡是夏至，中衡是春分和秋分，外衡是冬至。这三个节点把太阳的日道切成两半——从夏至走到冬至是半年，从冬至走回夏至又是一个半年。

第二步，把半年平分下去。 从夏至到冬至，一路上要经过十二个节气（小暑、大暑、立秋……直到大雪、冬至）。十二个节气走完六个间，平均下来每个间对应两个节气。照这个规则把七衡全部填满：

衡	对应的节气（往返各一次）	周长（里）
内衡（第 1 衡）	夏至	714000
第 2 衡	小满、大暑	833000
第 3 衡	谷雨、处暑	952000
中衡（第 4 衡）	春分、秋分	1071000
第 5 衡	雨水、霜降	1190000
第 6 衡	大寒、小雪	1309000
外衡（第 7 衡）	冬至	1428000

这张表要横着读。 内衡和外衡各自只出现一次——夏至和冬至是太阳走到的最北、最南两个端点，一到就回头；中间五条衡都出现两次，太阳出去时走一遍、回来时又走一遍。它把「时间」翻译成了「距离」：只要算出太阳走到了第几衡，就能推出眼下是哪个节气。

三个算例

下面三题全部使用周髀的原数据，取古率 $\pi = 3$，一步一步算给你看。

算例一：从内衡、外衡反推中衡

题目：已知内衡直径 $238000$ 里，外衡直径 $476000$ 里，中间等分六间，求中衡的直径与周长。

第一步，算两端的周长。

$$C_1 = 3 \times 238000 = 714000, \qquad C_7 = 3 \times 476000 = 1428000 \qquad (5)$$

第二步，算每间的周长差。

$$\Delta C = \frac{1428000 - 714000}{6} = 119000 \qquad (6)$$

第三步，中衡是第 4 个衡，离内衡隔了三间。

$$C_4 = 714000 + 3 \times 119000 = 714000 + 357000 = 1071000 \qquad (7)$$

第四步，换回直径。

$$d_4 = \frac{1071000}{3} = 357000 \qquad (8)$$

验算：中衡直径 $357000$ 里，正好是内衡与外衡直径的算术平均，$(238000 + 476000) \div 2 = 357000$，对上了；周长同样，$(714000 + 1428000) \div 2 = 1071000$。因为六间是等分，中衡必然落在内外衡的正中央——这是等分的必然结果。

算例二：第 $n$ 衡的通项与七衡周长之和

题目：写出第 $n$ 个衡的周长公式，再求第 6 衡的周长与七个衡的周长总和。

通项公式由首项和公差直接给出：

$$C_n = 714000 + (n - 1) \times 119000 \qquad (9)$$

求第 6 衡，代入 $n = 6$：

$$C_6 = 714000 + 5 \times 119000 = 714000 + 595000 = 1309000 \qquad (10)$$

第 6 衡对应大寒、小雪两个节气，它的直径是 $1309000 \div 3 = 436333\dfrac{1}{3}$ 里——不是整数，这一点后面还会解释。

再求七衡周长之和，用等差数列前 $n$ 项和公式：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \qquad (11)$$

代入 $n = 7$、$a_1 = 714000$、$a_7 = 1428000$：

$$S_7 = \frac{7 \times (714000 + 1428000)}{2} = \frac{7 \times 2142000}{2} = 7 \times 1071000 = 7497000 \qquad (12)$$

验算：七个衡的周长逐个相加，也等于 $7497000$：

$$714000 + 833000 + 952000 + 1071000 + 1190000 + 1309000 + 1428000 = 7497000 \qquad (13)$$

顺带看出一条性质：七衡周长之和，恰好是七倍的中衡周长。

算例三：内衡与外衡的面积比

题目：用古率 $\pi = 3$，求内衡与外衡的面积，算出两者的比，再求中衡的面积。

圆的面积公式（半径平方的 3 倍）：

$$S = \pi r^2 = 3r^2 \qquad (14)$$

内衡，$r_1 = 119000$，外衡，$r_7 = 238000$：

$$S_1 = 3 \times 119000^2 = 3 \times 14161000000 = 42483000000 \qquad (15)$$ $$S_7 = 3 \times 238000^2 = 3 \times 56644000000 = 169932000000 \qquad (16)$$

两式相除：

$$\frac{S_7}{S_1} = \frac{169932000000}{42483000000} = 4 \qquad (17)$$

面积比是 $4:1$，而半径比只有 $2:1$。 半径翻一倍，面积就要翻四倍——这正是「面积随半径的平方增长」最直白的一次现身。

中衡，$r_4 = 178500$：

$$S_4 = 3 \times 178500^2 = 3 \times 31862250000 = 95586750000 \qquad (18)$$

验算：$95586750000 \div 42483000000 = 2.25 = \dfrac{9}{4}$，与半径比 $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$ 完全吻合。三个衡的面积比是 $4 : 9 : 16$，也就是 $2^2 : 3^2 : 4^2$。

现代数学视角

七衡六间，本质上是一条等差数列

把七个衡的周长排成一行，你会发现它们从头到尾是一串等差数列：714000、833000、952000、1071000、1190000、1309000、1428000，公差固定 $119000$。这就是整张图能被「用公式画出来」的原因——记住首项和公差，七条轨道就一次全部确定。

那半径呢？半径也是等差数列，只是公差换了：$119000 \div 6 \approx 19833\dfrac{1}{3}$ 里。这也解释了第 6 衡直径为什么不是整数——周髀给出来的是整齐的「周」，而「径 = 周 ÷ 3」这一步经常除不尽。所以做古法题时优先用「周」列式，能避开一串烦人的分数。

从「等差」到「高阶插值」：七衡图怎么传到授时历

七衡六间最深的影响，不是多了七个圆，而是定下了一条方法论：把太阳一年的运动，用一组规则排列的数去逼近它。

周髀用的是「均匀假设」——太阳在七衡之间走的步子一样大，六间完全等分，相当于假设太阳匀速运动。可是太阳走得并不均匀：地球绕太阳的轨道是椭圆，太阳靠近近地点时快、靠近远地点时慢。北齐的张子信透过观测发现了这一点，太阳一日一夜走过的度数一年之内并非常数，他称之为「日行盈缩」。均匀假设一破，等差的七衡就不够用了。

补丁是一层层加上去的。 隋代刘焯的《皇极历》改用二次差的内插推算太阳位置；唐代一行的《大衍历》把二十四节气改成不等间距；到了元代郭守敬的《授时历》，用的已经是三次差的内插法，古人叫「招差术」——拿高次多项式去逼近太阳那条不均匀的曲线。授时历定出的一年是 $365.2425$ 天，与今天实测只差 $26$ 秒。

还有一处升级落在「率」上。 周髀把圆周率当成 $3$，算得中衡周长 $1071000$ 里；换用祖冲之的密率 $\dfrac{355}{113}$，则是约 $1121549$ 里，两者差了将近 $50549$ 里。骨架早就搭对了，差的只是那一个率。

七衡六间图和授时历，站的是同一条路的两端。 一端是七个同心圆、一条等差数列，另一端是招差术与 $365.2425$ 这个准到秒的数字。隔着一千五百年，讲的却是同一件事：用越来越精细的数学，去追一颗走得并不均匀的太阳。

一个容易搞错的地方：径是直径，不是半径

周髀里的「径」，指的是直径。 「周三径一」说的是周长是直径的三倍，写成公式是 $C = 3d$，不是 $C = 3r$。要是把直径当成半径代进去，周长会算成两倍、面积会算成四倍，整张七衡图的数字全盘乱套。记一条就够了：周长比的是直径（$C = \pi d$），面积乘的是半径（$S = \pi r^2$）。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：七衡六间图是把天文现象「翻译」成几何模型的一次成功示范——先假定太阳沿圆轨道运行，再把「大小不同的轨道」变成一个能直接算的等差数列，最后拿它去推算二十四节气。先建模、再算数、最后用观测核对，这套流程是所有应用数学的起点。

运算练兵场：这一讲用得最多的是圆的周长与面积、等差数列的通项与求和。七个衡的周长是一串等差数列，半径是一串含分数的等差数列，面积比则反复用到「面积与半径的平方成正比」。

综合题常客：圆很少单独出现，往往是一串圆、一层层扩大的圆环，或者「圆与数列」的复合背景题。做这类题的关键动作只有两个：看清半径的等差关系，把面积转成半径的平方再比较——凡是碰到「一圈套一圈」的图形，先问一句公差是多少，多半就能破题。

思考与拓展

1. 七衡的半径不是整数（公差 $19833\dfrac{1}{3}$ 里），周长却都是整数。为什么会出现这种「一边整齐、一边不整齐」的现象？若先给定七个整数半径，周长还会整齐吗？
2. 设内衡半径为 $r_1$、公差为 $d$，写出第 $n$ 个衡的半径、周长、面积的通项公式，并说明面积数列的二阶差分为什么是常数。
3. 相邻两衡之间的环形区域叫一个「间」。证明：六个间的面积依次排成一个等差数列。
4. 夏至日太阳直射北回归线（约 $23.5$ 度北纬），冬至日直射南回归线（约 $23.5$ 度南纬），半年按 $182.625$ 天计，求太阳直射点南北移动的平均速度——每天约多少度？平均每个节气约多少度？

一句话总结

七衡六间图——古人用七个同心圆把太阳的周年视运动画成了一条等差数列：内衡夏至、中衡春秋分、外衡冬至，六间等分恰好对应二十四节气；这条「用几何模型追太阳」的路，一路走到了郭守敬授时历的三次插值。