孙子算经 · 第 58 讲 · 2026-11-16 · 约 10 分钟

尺有鹑、寸有鷃——一道题算出十八亿只鸟

今有地，长一千步，广五百步，尺有鹑、寸有鷃。问鹑、鷃各几何？答曰鹑一千八百万，鷃一亿八千万。这道题只用两次乘法——长乘广、再乘三十六——就把一块地折算成一亿八千万只鸟。面积单位换算的威力，在一千八百年前就被算到了十亿量级。

原典

今有地，长一千步，广五百步，尺有鹑、寸有鷃。问：鹑、鷃各几何？

答曰：鹑一千八百万，鷃一亿八千万。

术曰：置长一千步，以广五百步乘之，得五十万；以三十六乘之，得一千八百万尺，即得鹑数；上十之，即得鷃数。

白话翻译

有一块地，长一千步，宽五百步。「尺有鹑」——每一平方尺落一只鹌鹑；「寸有鷃」——每一平方寸（准确说是每十平方寸）落一只鷃雀。问鹌鹑、鷃雀各有多少只？

答案是：鹌鹑一千八百万只，鷃雀一亿八千万只。

术文给的算法是：拿长一千步乘宽五百步，得五十万平方步；再乘三十六，得一千八百万平方尺，这就是鹑数；把它乘以十，就是鷃数。

整道题只有两次乘法，却把答案推到了十亿只的量级——在一个没有计算器的时代，这样的题本身就带着炫耀的技巧。

示意图

尺有鹑寸有鷃：步→平方尺→鹑数→鷃数的两次换算

图：1000 × 500 = 50 万平方步，×36 = 1800 万平方尺（鹑数），×10 = 1.8 亿（鷃数）

古人的算法

术文三步，每一步都有明确意义。

第一步，长乘广得面积（平方步）。

1000 \times 500 = 500000\ \text{平方步}

第二步，以三十六乘之，得平方尺。

500000 \times 36 = 18000000\ \text{平方尺}

关键在「三十六」：这是面积单位从「平方步」到「平方尺」的换算率。

一步等于六尺，所以

1\ \text{平方步} = 6 \times 6 = 36\ \text{平方尺}

这正是面积单位换算的核心规律：两个长度单位的换算是「一尺六步」，两个单位的平方就是 $6^2 = 36$ 。 古人不说「平方」，但「步六尺，故以三十六乘」的逻辑，跟今天「1 平方米 = 10000 平方厘米」是同一件事。

S = 18000000\ \text{平方尺}

第三步，即得鹑数。 因为「尺有鹑」——每平方尺一只鹌鹑，所以

\text{鹑} = 18000000\ \text{只}

即一千八百万只，与答曰前半吻合。

第四步，上十之，即得鷃数。

\text{鷃} = 18000000 \times 10 = 180000000\ \text{只}

即一亿八千万只，与答曰后半吻合。

「上十之」三字是本题的关键：鷃的单位（「寸」）比鹑的单位（「尺」）小十倍，所以同样面积上能落的鷃，数量就是鹑的十倍。这里不需要再换成「平方寸」——古人直接用「×10」绕过了繁琐的单位换算，因为 $\text{尺}:\text{寸} = 10:1$ ，一字诀。

现代数学视角

用今天的单位制重做一遍。

设地块长 $L = 1000$ 步、宽 $W = 500$ 步，1 步 = 6 尺。面积

S = L \times W \times 6^2 = 500000 \times 36 = 1.8 \times 10^7\ \text{平方尺}

每平方尺一只鹑，得 $1.8 \times 10^7$ 只；每十平方寸一只鷃，得

\frac{S \times 100}{10} = \frac{1.8 \times 10^7 \times 100}{10} = 1.8 \times 10^8\ \text{只}

两条路都得同样答案。第二条路揭示了「上十之」的实质：鷃的单位面积是鹑的十分之一（ $\text{寸}$ 是 $\text{尺}$ 的十分之一），所以同面积下鷃数量是鹑的十倍。

量级感：一亿八千万是什么概念？如果每只鷃占 1 平方寸（约 6.25 平方厘米），一亿八千万只鷃铺开的面积是

1.8 \times 10^8 \times 6.25\ \text{cm}^2 \approx 1.125 \times 10^9\ \text{cm}^2 = 112500\ \text{m}^2

大约是十六个标准足球场。这块 50 万平方步的地（约 150 万平方米）确实铺得下。 数学上没有矛盾，只是现实中不可能有这么多鸟。

这题真正教的是「单位的平方」。从「步」到「尺」是长度比 $6:1$ ，换算到面积就得平方成 $36:1$ 。今天学生常在这里出错——把「1 米 = 100 厘米」错用成「1 平方米 = 100 平方厘米」。本题是纠正这个错误的绝佳素材：长度的比是几，面积的比就是几的平方。

高中课本关联

面积单位换算： $1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$ 、 $1\ \text{km}^2 = 10^6\ \text{m}^2$ 。本题的「乘三十六」正是 $6^2$ 。让学生列出「长度比 $k$ → 面积比 $k^2$ → 体积比 $k^3$ 」的规律，再回来看本题。

科学记数法： $1.8 \times 10^7$ 、 $1.8 \times 10^8$ 。两次乘法就把数字推上十亿量级，是练科学记数法的好例子。

数列与乘法链： $1000 \to 500000 \to 18000000 \to 180000000$ ，每一步都是乘一个因子。可以让学生思考：如果「五步有鹑」而不是「尺有鹑」，该乘多少？

反比例与单位：同样一块地，单位取得越小（尺→寸），能容纳的个体越多，且恰好成反比。这是单位与数量的辩证关系，可以延伸讨论「为什么微观世界用纳米、天文学用光年」。

思考与拓展

算一算：按术文重算—— $1000 \times 500 = 500000$ ， $\times 36 = 18000000$ （鹑）， $\times 10 = 180000000$ （鷃）。验算每步与答曰是否一致。
为什么是三十六：一步等于六尺，请说明面积换算为什么要乘 $6^2$ 而不是 6。如果改成「一丈八尺为一步」，该乘多少？
改单位：若题意为「丈有鹑，尺有鷃」（每平方丈一只鹑、每平方尺一只鷃），鹑、鷃各多少？（提示：先算平方丈数，鹑数即平方丈数，鷃数 = 鹑数 × 100。）
反问题：若已知某地有鹑 450 万只，问这块地长一千步时，广多少步？
量级估算：若每只鷃占 1 平方寸，1.8 亿只鷃平铺需要多大面积？折合多少平方米？跟本题地块面积比，是大了、小了、还是差不多？

一句话总结

长乘广、乘三十六、再乘十——两次乘法把一块地算成了一亿八千万只鸟，也把面积单位换算的规矩讲透了。

— Y. · 2026-11-16

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