六万口共食——一道比例分配的宏大演算

原典

今有六万口，上口三万人，日食九升；中口二万人，日食七升；下口一万人，日食五升。问：上、中、下口，共食几何？

答曰：四千六百斛。

术曰：各置口数，以日食之数乘之，所得并之，即得。

白话翻译

有六万口人，分上、中、下三等：上等三万人，每人每天吃九升；中等二万人，每人每天吃七升；下等一万人，每人每天吃五升。问上、中、下三等每天共吃多少？

答案是：四千六百斛。

术文给的算法是：把各组人数分别乘该组的日食数，所得相加，即得总量。

这是《孙子算经》里口粮计算的标准题，结构与第 31 讲的配分题、第 29 讲的工程定额题一致：按类别分头算，再汇总。

示意图

古人的算法

术文三步，每步都是整数。

第一步，上口。

第二步，中口。

第三步，下口。

第四步，并之得总量。

第五步，折算成斛。 1 斛 = 10 斗 = 100 升，故

与答曰完全一致。

为什么术文停在「并之」？ 因为术文只要求算出总升数，「四千六百斛」这一折算，读题者按 1 斛 = 100 升自己换算即可——这是《九章算术》体系里最基础的常识，不必写进术文。

现代数学视角

用今天的语言，这是加权求和。

其中 $n_i$ 是各等口数，$r_i$ 是各等口粮。三项分别是 27 万、14 万、5 万升，总计 46 万升。

换算成今天的量制：秦汉一升约合今 200 毫升，则 46 万升约合 92 万升（按秦汉量制自算），就是约 920 立方米的口粮。按每人每天平均 2.3 千克（每升约合 2.3 kg 粟米）算，六万人日耗约 138 吨。这是一座六万人城池的日粮规模，放在任何时代都是重算。

这里的关键不在算术，在数字的诚实感：

• 上口三万人吃 9 升、中口二万人吃 7 升、下口一万人吃 5 升——口粮比约 $9:7:5$，等差为 2；
• 而口数比 $3:2:1$——正好是三等社会结构的整齐模型。

这些数显然是为了让乘积好看（270000、140000、50000）而设的。古人编题时会调数，但调的是「便于筹算」，不是「便于取整」就算了——$460000 \div 100 = 4600$ 这种干净的答案，读者一验算就看得出来，增进对算法的信任。

效率的隐含信息：若上口日食 9 升、下口 5 升，差 4 升；三等平均 7.67 升，加权平均每人日食约 7.67 升——比下口高 53%，比上口低 15%。分配的不均衡是结构性的，一道口粮题，也能读出社会等级。

高中课本关联

分配与比例：按「口数 × 口粮」加权汇总。这与第 31 讲的「钱分三等」结构相同，只是换成了口粮，是很好的对比素材。

单位换算：升 → 斗 → 斛，十进制。这是中国古代量制的三级，与长度单位的尺、寸、分同名但不同物，训练「同字不同义」的辨识力。

科学记数法：$27 \times 10^4$、$14 \times 10^4$、$5 \times 10^4$ 三个数量级相同的数相加，训练大数运算。

分类汇总与预算思想：三等分别计算再汇总，就是今天预算表的雏形。让高中生把本题改写成一张「口粮预算表」，直观理解「小计—合计—总计」的层次。

思考与拓展

1. 算一算：按术文重算：$30000 \times 9$、$20000 \times 7$、$10000 \times 5$，并得 460000 升；再除以 100 得 4600 斛。每一步验算。

2. 加权平均：以口数为权重，求平均日食 $\dfrac{30000 \times 9 + 20000 \times 7 + 10000 \times 5}{60000}$。这个「每人平均」数下，六万口的总需求是多少？与结果一致吗？

3. 改一等：若上口改为四万人（中、下口不变，总口数变七万），共食多少斛？（提示：$40000 \times 9 + 20000 \times 7 + 10000 \times 5 = 550000$ 升，即 5500 斛。）总口数变了，答案怎么变？

4. 口粮再分：若三等口粮都增加一升（9、8、6），共食增加多少？总增加量与口数是什么关系？

5. 月食预算：若按一个月（30 天）供应，需多少斛？十万人日食多少斛？由此估算供养一座六万人城一年需要多少斛，并折算成今天的吨数（按每升约 2.3 kg 计）。

一句话总结

二十七万、十四万、五万——三个乘积一加就是四十六万升；一道口粮计算，把比例分配和预算思想算到了六万人的规模。