三鸡啄粟：一千零一粒的按份分摊

原典

今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四。主责本粟，三鸡主各偿几何？

答曰：鸡雏主一百四十三粒，鸡母主二百八十六粒，鸡翁主五百七十二粒。

术曰：置粟一千一粒为实，副并三鸡所啄粟七粒为法，除之，得一百四十三粒为鸡雏主所偿之数，递倍之，即得母、翁主所偿之数。

白话翻译

三只鸡一共偷吃了一千零一粒粟。鸡雏啄了一粒、鸡母啄了两粒、鸡翁啄了四粒。现在主人要责赔，三只鸡的主人各该赔多少？

答案是：鸡雏主一百四十三粒、鸡母主二百八十六粒、鸡翁主五百七十二粒。

术文给的算法是：拿一千零一粒作为被除数，把三只鸡啄食的份数加起来得七粒作为除数；除一下得一百四十三粒，这是鸡雏主该赔的数；后面两个数翻倍即得。

示意图

古人的算法

先读懂题意。 这三只鸡不是平均偷吃，而是按比例：雏啄 1 粒、母啄 2 粒、翁啄 4 粒。赔的时候自然也该按这个比例赔——谁吃得多，谁赔得多。

比例是

总份数

术文三步。

第一步，定实与法。 被除数（实）是总量 1001，除数（法）是总份数 7。

第二步，相除得雏主之数。

恰好除尽。 143 是鸡雏主该赔的粒数。

第三步，「递倍之」。 鸡母啄的是雏的两倍，所以赔两倍：

鸡翁啄的是雏的四倍，所以赔四倍：

验算三方之和。

正好回到粟的总量，一文不差。

「递倍之」三个字是全题的精华。 它把三道除法合成了一道：先算最小的份，剩下的按比例翻倍。若不用这个技巧，要分别算 $1001 \times \frac{2}{7}$ 与 $1001 \times \frac{4}{7}$——都是分数运算，麻烦得多。古人选择「除一次，翻两番」，是为了让每一步都落在整数上。

为什么 1001 这个数选得好？ 因为 $1001 = 7 \times 11 \times 13$，它能被 7 整除。编题者算准了这一点才定下这个数——若换成 1000，$1000 \div 7$ 就要出分数了。

现代数学视角

用今天的语言，这是按比例分配。

设雏主赔 $x$，则母主赔 $2x$、翁主赔 $4x$，共 $7x$。

于是

「递倍之」就是今天的「先解出基数，再乘各自系数」。 这道题虽然简单，却是「按比例分配」这一整类问题的标准范式——先把总量除以总份数求出「一份是多少」，再乘各人的份数。今天小学高年级就在学这个套路，源头就在《孙子算经》。

「递倍」这个词本身值得一说。 它不是普通的「加倍」，而是「按既定比例逐级翻倍」。1、2、4 是公比为 2 的等比数列，所以递倍恰好走通。若比例改成 1:3:5（等差），「递倍」就不适用，得逐项乘系数。术文的简洁，得益于编题者选了公比 2。

另有一层趣味：1001 这个数在数学上很有名——它是最小的「三个连续素数之积」（$7 \times 11 \times 13$），也是「魔数」之一。用它来出整除题，体面又干净。

高中课本关联

比例分配：总量 ÷ 总份数 = 一份的量，一份 × 各份数 = 各部分。这是最基础的比例应用题，本题是其最古老的实例之一。

等比数列：1、2、4 是公比 2 的等比数列。若比例扩展到八只鸡（1:2:4:8:…），就进入等比求和。第 38 讲「女子善织」正是这个思路的展开。

整除与因数分解：$1001 = 7 \times 11 \times 13$。让学生分解 1001，理解为什么它能被 7 整除，进而理解「编题先定数」的道理。

算法优化意识：同样一道题，「除三次」与「除一次翻两次」结果相同，但后者全是整数运算。让学生比较两种算法的步骤数，体会古人为算筹做的优化。

思考与拓展

1. 算一算：按术文算——份数和 $1+2+4=7$，$1001 \div 7 = 143$，递倍得 286、572；再验算三者和为 1001。

2. 分解 1001：把 1001 分解质因数，说明为什么它能被 7 整除。若换成 1000，答案会怎样？

3. 改比例：若三鸡的啄食比改为 2:3:5，总份数是多少？1001 还能整除吗？若不整除，古人会怎么记答案？

4. 等比扩展：若改为「四鸡啄粟，雏啄一，逐级递倍」，总份数是多少？1001 斛能出整数吗？

5. 今法对照：用今天的比例分配法（$1001 \times \frac{1}{7}$、$1001 \times \frac{2}{7}$、$1001 \times \frac{4}{7}$）各算一遍，与术文比较。哪种方法步骤少？

一句话总结

一千零一粒除以七得一百四十三，再递倍两次——一次除法、三次翻倍，把 1:2:4 的账算得干干净净。