不定方程（一）——鸡兔同笼与方程组

原典

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？

答曰：雉二十三，兔十二。

术曰：上置三十五头，下置九十四足。以足减半，得一十七。以少减多，加头中，得兔。其余为雉。

——《孙子算经·卷下》

这道题说的是什么

笼子里有鸡和兔子，数了数脑袋——35 个；数了数脚——94 只。问：鸡有多少只？兔有多少只？

答案是：鸡 23 只，兔 12 只。

验证：23 + 12 = 35 头 ✓，23 × 2 + 12 × 4 = 46 + 48 = 94 足 ✓

示意图

鸡兔同笼：已知总头数和总脚数，求鸡兔各几何

数学原理

1. 现代代数解法

设鸡有 $x$ 只，兔有 $y$ 只。

$$\begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} \qquad (1)$$

由第一个方程：$x = 35 - y$，代入第二个方程：

$$2(35 - y) + 4y = 94$$ $$70 - 2y + 4y = 94$$ $$2y = 24$$ $$y = 12$$ $$x = 35 - 12 = 23$$

2. 古人的"盈不足术"

术文说："以足减半，得一十七。以少减多，加头中，得兔。其余为雉。"

让我逐句拆解：

"以足减半，得一十七"：94 ÷ 2 = 47。等等，术文说"得一十七"，不是 47。再读：可能是"以足减半"指的是另一种操作。

实际上，术文的正确理解是：

"置三十五头"： heads = 35 "置九十四足"： feet = 94 "以足减半"：94 ÷ 2 = 47（每只动物至少 2 只脚，先假设全是鸡） "以少减多，加头中"：这里"少"指头数 35，"多"指足半 47？不，应该是 47 - 35 = 12，这就是兔数。

验证：47 - 35 = 12 只兔，35 - 12 = 23 只鸡。✓

为什么这样算？设想每只动物都被"减半"——鸡变成 1 只脚，兔变成 2 只脚。那么 94 只脚减半后变成 47"半脚单位"。如果全是鸡，应该只有 35 个单位；多出来的 47 - 35 = 12，就是兔的额外贡献（每只兔多 1 个单位）。所以兔有 12 只。

3. 一般公式

对于"头的总数为 $H$，脚的总数为 $F$"的问题：

$$\text{兔数} = \dfrac{F}{2} - H$$ $$\text{鸡数} = H - \text{兔数}$$

这个公式成立的前提是 $F$ 为偶数，且 $F/2 \geq H$（否则无解）。

4. 为什么叫"盈不足术"

盈不足术的核心思想是"假设—调整"：先假设所有动物都是鸡（足最少的），计算出"不足"的脚数，然后逐步将鸡换成兔（每次换增加 2 只脚），直到补足为止。

本题中：

• 假设 35 只全是鸡：应有 70 只脚
• 实际有 94 只脚：多出 24 只脚
• 每将一只鸡换成兔，脚数增加 2
• 需要换 $24 \div 2 = 12$ 只

所以兔 12 只，鸡 23 只。

古人的算法

术文的操作步骤（筹算实现）：

1. 置头三十五于上：在算筹布局的上排放 35
2. 置足九十四于下：在下排放 94
3. 以足减半：94 ÷ 2 = 47
4. 以少减多：47 - 35 = 12（兔数）
5. 其余为雉：35 - 12 = 23（鸡数）

现代数学视角

鸡兔同笼问题是一个二元一次方程组的特例。更一般地，任何形如：

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

的方程组都可以用消元法或代入法求解。

鸡兔同笼的特殊性在于系数非常简单：$a_1 = b_1 = 1$，$a_2 = 2$，$b_2 = 4$。这种特殊结构使得算法可以大大简化，不需要一般的消元步骤。

从线性代数的角度看，这是一个二维平面上的两条直线的交点问题。两条直线不平行（系数不成比例），所以有唯一解。

高中课本关联

二元一次方程组（七年级）

鸡兔同笼是二元一次方程组的经典应用题。学生学习代入消元法和加减消元法。

一元一次方程（七年级）

也可以转化为一元一次方程：设兔有 $x$ 只，则鸡有 $35 - x$ 只，列方程 $4x + 2(35 - x) = 94$。

数学建模（高中）

鸡兔同笼问题是数学建模的入门案例——将实际问题抽象为方程组，求解后再验证结果的实际意义。

思考与拓展

第1题：鸡兔同笼，头 35，脚 94。如果脚数是 100，答案是多少？如果脚数是 80，答案是多少？什么情况下无解？

第2题：和尚分馒头问题。100 个和尚分 100 个馒头，大和尚每人分 3 个，小和尚每 3 人分 1 个。问大、小和尚各多少人？

提示：设大和尚 $x$ 人，小和尚 $y$ 人。$x + y = 100$，$3x + y/3 = 100$。解得 $x = 25$，$y = 75$。

第3题：证明——对于鸡兔同笼问题，如果头的总数为 $H$，脚的总数为 $F$，则解存在的充要条件是：$F$ 为偶数，且 $2H \leq F \leq 4H$。

第4题：扩展——如果有鸡、兔、鸭三种动物，已知头的总数和脚的总数，能否唯一确定每种动物的数量？为什么？

一句话总结

鸡兔同笼问题用"假设—调整"的思路，将二元方程组转化为一步算术运算——这是中国古代数学"以简驭繁"的典范。