荡杯问客——津吏的一道分数题

原典

今有妇人河上荡桮，津吏问曰：「桮何以多？」妇人曰：「家有客。」津吏曰：「客几何？」妇人曰：「二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五。不知客几何？」

答曰：六十人。

白话翻译

有位妇人在河边洗杯碗。管渡口的官吏问她：「杯子怎么这么多？」妇人说：「家里来了客人。」官吏问：「多少客人？」妇人说：「两个人合用一个饭碗，三个人合用一个羹杯，四个人合用一个肉杯，一共用了六十五个杯碗。请问来了多少客人？」

答案是：六十人。

这段对话是《孙子算经》里最有现场感的一段。 渡口官吏的问话、妇人的回答，都是日常口语；而就在这段家常话里，埋着一道需要通分才能解的分数题。官吏问完就算出来了——河津小吏的算术，可见一斑。

关于「桮」字：古书中「桮」即「杯」，指碗、杯一类的器皿。妇人说的「二人共饭」，是说两个人共用一只饭碗。

示意图

古人的算法

设客数为 $n$。 三人规矩如下：

$$\text{饭碗} = \frac{n}{2}, \qquad \text{羹杯} = \frac{n}{3}, \qquad \text{肉杯} = \frac{n}{4}$$

三样加起来是 65：

$$\frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \frac{n}{4} = 65$$

关键一步是通分。 2、3、4 的最小公倍数是 12，于是

$$\frac{n}{2} = \frac{6n}{12}, \qquad \frac{n}{3} = \frac{4n}{12}, \qquad \frac{n}{4} = \frac{3n}{12}$$

三项相加：

$$\frac{6n + 4n + 3n}{12} = \frac{13n}{12} = 65$$

两边同乘 12：

$$13n = 780 \quad \Longrightarrow \quad n = \frac{780}{13} = 60$$

验证一遍：

$$\frac{60}{2} = 30\ \text{只饭碗}, \qquad \frac{60}{3} = 20\ \text{只羹杯}, \qquad \frac{60}{4} = 15\ \text{只肉杯}$$

合计 $30 + 20 + 15 = 65$ 只，与题面完全一致，客数为 60 人。

这道题的巧妙在于「分而不整」。 客数必须是 2、3、4 的公倍数，才能让每类器皿都是整数只。60 是 12 的倍数，正好满足；而 $\frac{13}{12}$ 这个系数意味着「客数还要被 13 除得尽」——$65 \times 12 \div 13 = 60$，数字凑得恰到好处。古人编题时显然反推过：先定 60 位客人，再算出 65 只杯碗。

现代数学视角

用今天的语言，这是一道分式方程：

$$n\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = 65$$

括号里是调和意味很浓的三个分数，和为 $\frac{13}{12}$。这题的价值不仅在解方程，更在它点出了一个常见误区：「平均每类器皿多少只」不等于「器皿总数除以 3」。 若直接算 $65 \div 3 \approx 21.7$，毫无意义。真正的做法是先理清每类与客数的关系。

换个思路，还能发现一个含蓄的结构：设每只饭碗供 2 人、每只羹杯供 3 人、每只肉杯供 4 人，那么 65 只器皿「供养」的总人·次是 $2 \times 30 + 3 \times 20 + 4 \times 15 = 60 + 60 + 60 = 180$，而每个人恰好用到三类各一次，所以 $n = 180 \div 3 = 60$。两种算法殊途同归，后者更像「加权平均」——每类器皿的供应能力不同，加权求和才是总供给。

这题的实用性很强。 今天组织会议、安排餐饮、分配器材，都要先算「多少人共用一份资源」。食堂备餐按人均份量、会议室按人均面积、共享单车按人均投车比，本质都是这道题。「二人共饭」是古代的餐桌配比，今天叫「供餐比」。

高中课本关联

分式方程：$\dfrac{n}{2} + \dfrac{n}{3} + \dfrac{n}{4} = 65$ 是最标准的分式方程，去分母（乘 12）后化为整式方程。本题适合作为分式方程的第一道例题——情境具体、答案整洁、还可验算。

最小公倍数与通分：2、3、4 的最小公倍数 12 是通分的钥匙。让学生体会「为什么要找最小公倍数」而不是随便乘。

函数与比例：器皿数随客数线性增长，$y = \dfrac{13}{12}x$ 是一条斜率为 $\frac{13}{12}$ 的直线。给学生几个客数值让他们列成表格，再画成图，斜率的含义（「每来一位客人要多用 $\frac{13}{12}$ 只杯碗」）立刻具体。

数学建模：从一段文言对话中提取变量关系，是最早的建模训练。让学生先把题目改写成数学语言，再列方程——这一步往往是难点。

思考与拓展

1. 算一算：按上述办法列方程、通分、解出 $n = 60$，再把 60 代回原题三类器皿逐一验算。

2. 改数据：若共用规则改为「二人共饭，三人共羹，五人共肉」，共用 79 只器皿，问客多少？（提示：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5} = \frac{31}{30}$，所以 $n = 79 \times \frac{30}{31}$——注意这次是否整除。）

3. 反问题：若已知客人为 84 人，规矩仍是二、三、四人共用，问共用多少只器皿？（提示：$84 \times \frac{13}{12}$。）

4. 缺一类：若只有饭碗和羹杯（没有肉杯），共用 50 只，问客多少？与有三类相比，解的结构有何不同？

5. 生活建模：学校食堂有 180 个座位，每 3 人一桌供 3 菜 1 汤。问需要多少张餐桌、多少菜、多少汤？若来 200 人就餐，最少要加几张桌、加几菜几汤？仿照本题写一遍「今日版荡杯问客」。

一句话总结

「二人共饭，三人共羹，四人共肉」——一段渡口闲聊，藏着通分、比例与线性函数三层数学。