引绳度木：两个条件消一个未知数

原典

今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。问：几何？

答曰：六尺五寸。

术曰：置余绳四尺五寸，加不足一尺，共五尺五寸，倍之，得一丈一尺，减四尺五寸，即得。

白话翻译

有一根木头，长短未知。把绳子拉直来量，绳子比木头长出四尺五寸；把绳子对折再来量，又短了一尺。问：木头长多少？

答案是：六尺五寸。

术文给的算法是：拿「余绳四尺五寸」加「不足一尺」，得五尺五寸；翻倍，得一丈一尺；再减去四尺五寸，即得。

这道题只用两个条件，就绕开了绳长这个未知量。 木头长、绳长都是未知的，但两次量法都把绳长消掉了。

示意图

古人的算法

先把两个条件翻成关系式。 设木长 $L$ 寸，绳长 $P$ 寸。

引绳度之，余绳四尺五寸——绳子比木头长 45 寸：

屈绳量之，不足一尺——绳对折后（半绳）比木头短 10 寸：

术文的解法不是分别代入，而是直接相加消元。

由
(2) 两边同乘 2：

比较
(1) 与 (2')：

术文走的是另一条更短的路。 它注意到
(1) 与
(2) 中的 $L$ 方向相反：一个是「绳比木长」，一个是「绳比木短」。把这两个数直接相加：

这个 55 就是木长与绳长之间差的一半——也就是「半绳 - 木长」的绝对值。为什么？由
(1)
(2)：

两式相加：

术文「共五尺五寸，倍之，得一丈一尺」——正是这一步：先加得 55，再倍得 110，这就是绳长。

接着减四尺五寸：$110 - 45 = 65$ 寸，就是木长。

与答曰一致。

验算两个条件：

• 引绳：$P = 65 + 45 = 110$ ✓
• 屈绳：$\dfrac{110}{2} = 55 = 65 - 10$ ✓

两个条件都满足，答案无误。

现代数学视角

这是一道标准的二元一次方程组：

用消元法：第一式已经给出 $P = L + 45$，代入第二式 $L - \dfrac{L+45}{2} = 10$，解出 $L = 65$。

术文的做法相当于「把两式相加」——第二式两边先乘 2 变成 $2L - P = 20$，再与第一式 $P - L = 45$ 相加：

一步出答案。 古人没写「消元」二字，但他们选的加法方向，恰好让 $P$ 正负相消、$L$ 系数为 1——这是消元法的直觉版。

换个角度看，这题的巧妙在于「设的二未知数中有一个只作桥梁」。 绳长 $P$ 最终被消掉，木头 $L$ 才是要求的。今天讲「设而不求」「参数消去」，两千年前的术文已经在用了。

高中课本关联

二元一次方程组：设两个未知数、列两式、消元求解。本题是最简形式——两式一加即得答案，适合作为代入法与加减消元法的第一道例题。

方程的几何意义：两个关系式在 $(L, P)$ 平面上是两条直线，交于 $(65, 110)$。让高中生画一画，能直观看到「两个条件定一个解」。

设而不求：有些未知数只是桥梁。本题的绳长就是。这是解应用题的重要策略——该设的设，该消的消。

单位换算：1 尺 = 10 寸，答案 65 寸要写成 6 尺 5 寸。古代复名数与今天小数表示的转换，训练单位意识。

思考与拓展

1. 算一算：按术文重算——余绳 45 寸加不足 10 寸得 55 寸，倍之得 110 寸（绳长），减 45 寸得 65 寸（木长）；再用方程组验证，并代回两个条件检查。

2. 改数据：若余绳改为三尺（30 寸）、不足改为五寸，木长多少？绳长多少？（提示：$30 + 5 = 35$，倍之 70，减 30 得 40 寸。）

3. 两种量法换顺序：若题意为「屈绳量之，余绳若干；引绳度之，不足若干」，方程组如何列？术文的「加不足倍之减余」还适用吗？

4. 三量法：若再给出「三尺量之，恰尽」（绳 = 3 倍木长），三个条件是否自洽？（提示：检查 110 是否等于 $3 \times 65$。）

5. 画图理解：在坐标系中画出 $P = L + 45$ 与 $2L - P = 20$ 两条直线，标出交点。观察交点的两个坐标分别对应什么。

一句话总结

一个绳子比木长、一个对折比木短——古人把两个差额一加一倍，把绳长变成木长的垫脚石。