贷丝出息：两千年前的一笔年利率

原典

今有贷与人丝五十七觔，限岁出息一十六觔。问：觔息几何？

答曰：四两五十七分两之二十八。

术曰：列限息丝一十六觔，以一十六两乘之，得二百五十六两，以贷丝五十七觔除之，不尽，约之，即得。

白话翻译

借给别人五十七斤丝，约定一年为期，收利息十六斤。问：每斤的利息是多少？

答案是：四又五十七分之二十八两。

术文给的算法是：把一年的总利息十六斤，用十六乘（换成两），得二百五十六两；拿贷出的五十七斤除它；除不尽就约分，即得每斤之息。

这道题在整部《孙子算经》里很特殊——它是唯一一道关于借贷利息的题。别小看这一行字，它把本金、期限、利息、利率四个概念全占齐了。

示意图

古人的算法

先把已知条件理清。

本金（贷丝）：$57$ 斤。 一年总利息（限岁出息）：$16$ 斤。 求：每斤丝一年该收多少利息。

术文三步。

第一步，总息化成两。 一斤十六两，所以

术文「以一十六两乘之，得二百五十六两」。

第二步，除以本金。

验算：$57 \times 4 = 228$，$256 - 228 = 28$ ✓

第三步，命分。 除不尽，古人不用小数，直接写成分数：

注意这里不能再约——$28$ 与 $57$ 互质（$28 = 4 \times 7$，$57 = 3 \times 19$），所以「四两五十七分两之二十八」就是最简形式。

这就是答曰。

验算一下总量：每斤息 $4\dfrac{28}{57}$ 两，五十七斤共

正好回到总息二百五十六两，自洽。

现代数学视角

用今天的语言，这是年利率的计算。

设本金 $P = 57$ 斤，年息 $I = 16$ 斤，则年利率

百分之二十八的年利率。 这个数字放在今天看偏高（现代银行的消费贷年化多在 3%-15%），但在汉代属于正常水平——彼时没有成熟的金融体系，借贷多为救急（青黄不接时借种子、灾年借粮），风险高、规模小，利率自然高。

月息约 2.34%（$28.07\% \div 12$）。这与后世「月息三分」「九出十三归」等高利贷描述的量级一致，说明中国古代的借贷利率长期维持在较高水平，直到近代银行体系建立才降下来。

术文的分母为什么是 57？ 因为它是拿「总息 ÷ 本金」直接得的分数，分母就是本金数。古人没有「百分数」，就用这个具体分母——每个数都有明确的物理含义，这是中算的务实之处。

「限岁」二字值得注意：它规定了借款期限为一年。这是标准的定期借贷，而非活期。古代契约通常写明期限与利率，本题的「限岁出息」正是这种契约的数学化。

高中课本关联

百分数与利率：$r = \dfrac{I}{P}$。本题是已知利息与本利求利率的完整范例，可对比今天的存款、贷款计算。

分数的最简形式：$\dfrac{256}{57}$ 中，$256 = 2^8$，$57 = 3 \times 19$，无公因数，故不可约。这是「互质判断」的实战。

单利与复利：本题只算一年，是单利。可以延伸讨论——若第二年把本息一起再贷（复利），两年后总额是多少？$(1 + \frac{16}{57})^2 \approx 1.64$，即两年利息合计约 64%。

利息与契约：让学生查今天的贷款合同，找出本金、期限、利率三个要素，说明它们在合同里怎么写——这正是「限岁出息」的现代版。

思考与拓展

1. 算一算：按术文算——$16 \times 16 = 256$ 两，$256 \div 57 = 4$ 余 $28$，得 $4\dfrac{28}{57}$ 两。再验算 $57 \times (4 + \frac{28}{57}) = 256$。

2. 求年利率：用 $r = \dfrac{16}{57}$ 算年利率，精确到小数点后两位。再算月息（除以十二）是百分之几。

3. 复利延伸：若这笔钱按复利滚两年，本利和是本金的多少倍？三年呢？（提示：$(1 + r)^n$。）

4. 反问题：若贷出 100 斤丝、年利率同为 $\dfrac{16}{57}$，一年利息是多少斤？若只要收息 10 斤，该贷出多少斤？

5. 古今对比：查今天银行一年期存款利率、消费贷年化利率，与本题的 28.07% 比较。思考：为什么古代利率这么高？金融体系、风险、期限结构各起了什么作用？

一句话总结

五十七斤丝贷出一年，收息十六斤——两千年前的一笔借贷，把单利、利率、契约三件事算得明明白白。