三人共车：一行术文解一个二元方程组

原典

今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问：人与车各几何？

答曰：一十五车，三十九人。

术曰：置二人以三乘之，得六，加步者九人，得车一十五，欲知人者，以二乘车，加九人即得。

白话翻译

三个人合乘一辆车，最后空出两辆车；两个人合乘一辆车，最后有九个人要步行。问：人和车各是多少？

答案是：十五辆车，三十九人。

术文给的算法是：拿「二人」乘「三」，得六；加上步行的九人，就是车数十五。要求人数，拿二乘车数再加九人即得。

两句话，四则运算各用了一次，答案全出。 今天的课本要设两个未知数、列两个方程、消元、回代，满满半页。差距在哪？

示意图

古人的算法

先把题意翻成今天的关系式。 设人数为 $n$，车数为 $y$。

三人共车，二车空——即用了 $y - 2$ 辆车，每辆三人：

二人共车，九人步——即 $y$ 辆车每辆二人，还剩九人没上车：

联立求解。 由
(1)
(2)：

展开、移项：

代回
(2)：

答曰十五车、三十九人。

验算两个条件：

• 三人共车：用了 $15 - 2 = 13$ 辆，$13 \times 3 = 39$ 人 ✓
• 二人共车：$15 \times 2 = 30$ 人，$39 - 30 = 9$ 人步行 ✓

现在看术文那两句话到底在做什么。

「置二人以三乘之，得六」——$2 \times 3 = 6$。

「加步者九人，得车一十五」——$6 + 9 = 15$。

这就是 $y = 9 + 6$，正是上面移项的结果！ 术文把整个消元过程浓缩成了一句：$2 \times 3$ 就是方程里 $2y$ 与 $3y$ 相减后剩下的系数 3 乘以「二人」的 2，$+9$ 就是移项过来的常数项。古人不写中间过程，因为他们心里清楚这是在「齐同相减」。

「欲知人者，以二乘车，加九人即得」——$2 \times 15 + 9 = 39$。这是直接把答案代回较简单的那个方程
(2)。

现代数学视角

用今天的语言，这是二元一次方程组的标准题：

两式相减：

代回即得 $n = 39$。

术文的「置二人以三乘之，得六」正是这个相减。
(1) 式与
(2) 式的车数系数分别是 3 与 2，相差 1；而人数的系数都是 1，直接相减就消去 $n$。剩下 $3y - 2y = y$ 和 $9 - (-6) = 15$。术文把「$3 - 2 = 1$」这一步省略了（因为差是 1，乘不乘都一样），直接拿 $2 \times 3 = 6$ 与 9 相加得 15。

换个角度，这还是盈亏问题的变体。 从「三人一车」改成「二人一车」，每辆车少装一人，本来该剩下 $y$ 个人；但同时空车少了 2 辆，多装了 $2 \times 3 = 6$ 人。两相抵消，最后剩下 9 人步行，于是 $y - 6 = 9$，即 $y = 15$。术文的「得六」正是那两辆空车能装的人数。

这道题可以通向「物不知数」。 若把条件改成「三人共车余二人、五人共车余四人、七人共车余六人」，就进入同余方程组——那正是《孙子算经》卷下最著名的「物不知数」，也是世界数学史上的中国剩余定理。本题是它的简化前身。

高中课本关联

二元一次方程组：设两个未知数、列两式、相减消元。本题是课本上最标准的题型，可以用来讲「什么时候用加减消元比代入法快」。

方程组的几何意义：两式各是一条直线，交于 $(n, y) = (39, 15)$。画在坐标系里，交点的含义一目了然。

盈亏问题与算术解法：不设未知数也能解——「每车少装一人该剩 15 人，但少空 2 车多装 6 人，故 15 − 6 = 9 正是步行人数」。让学生比较代数法与算术法，理解「术文为什么不设未知数」。

同余与剩余定理的入口：把本题的「三人一车、二人一车」改成三个模数，就是「物不知数」。这是通向中国剩余定理的天然台阶。

思考与拓展

1. 算一算：按术文算——$2 \times 3 = 6$，$6 + 9 = 15$（车），$2 \times 15 + 9 = 39$（人）。再按今天的方程组解一遍，比较两条路。

2. 不设未知数：试着用「每车少装一人」的思路直接讲清为什么 $15 - 6 = 9$。

3. 改数据：若改为「四人共车，三车空；三人共车，五人步」，问人车各几？（提示：$3 \times 4 = 12$，车数 $= 5 + 12 = 17$，人 $= 3 \times 17 + 5 = 56$。）

4. 验证术文的一般性：设「$a$ 人共车空 $b$ 车，$c$ 人共车 $d$ 人步」，能否推出「车数 $= d + bc$」？请用代数证明。（提示：$n = a(y-b) = cy + d$。）

5. 通向剩余定理：若条件是「三人共车余二人；五人共车余四人；七人共车余六人」，问至少多少人？（提示：这就是「物不知数」，答案是 104。）

一句话总结

「置二人以三乘之，得六，加步者九人，得车一十五」——一句术文走完了一次消元，古人把解法压缩到了骨头里。