斛加三升？一道题把「加多少」逼到小数点后

原典

今有粟，二千三百七十四斛，斛加三升。问：共粟几何？

答曰：二千四百四十五斛二斗二升。

术曰：置粟二千三百七十四斛，以一斛三升乘之，即得。

白话翻译

有粟二千三百七十四斛，每斛加三升。问一共多少？

答案是：二千四百四十五斛二斗二升。

术文给的算法是：拿二千三百七十四斛乘「一斛三升」，即得。

这道题的算法只有一步乘法，真正的悬念在：「一斛三升」是什么意思？ 是 $1 + 0.003 = 1.003$，还是 $1 + 0.03 = 1.03$？选错一个零，答案就差了六十四斛。

示意图

古人的算法

术文只说「以一斛三升乘之」。 这里的「一斛三升」不是重量，而是加率系数——每斛对应的新数量。

问题在于：这系数到底是 1.003 还是 1.03？

先按字面算。 三升 = 0.003 斛，所以系数 $1.003$：

即 2381 斛 1 斗 1 升 2 合。

再看答曰：二千四百四十五斛二斗二升，也就是 $2445.22$。

两者相差

差了整整六十四斛，绝非四舍五入能解释。

反推真实加率。 设每斛加 $x$ 升，则

解得

三斗，不是三升。 验证：

与答曰一字不差。

结论：本题的加率是 3%，即每斛加三斗。原文「斛加三升」与术文「以一斛三升乘之」中的「升」字，从答案反推应为「斗」。这是一处传抄或记载的讹误，但算法本身完全自洽。

现代数学视角

用今天的语言，这是增长率问题。

基数 $B = 2374$ 斛，增长率 $r$，末值 $A = 2445.22$ 斛：

3% 这个数字相当好看，也侧面印证了「三斗」的解读——古人编题通常选整齐的比率。

本题的价值在于暴露了一个通用陷阱：古代量制是十进（1 斛 = 10 斗，1 斗 = 10 升），「三升」与「三斗」只差一个进位，却让结果差十倍。今天用小数，$0.003$ 与 $0.03$ 的区别全靠小数点后第几位——同样的错误，今天照样有人犯。 做数据分析时把 0.3% 写成 3%，是真实工作中最常见的乌龙之一。

从答案反推参数，也是数学建模的基本功。当模型参数与观测结果对不上时，与其怀疑结果，不如反推参数、检验哪一环出了错。本题正是用这个方法定位到那个「升」字。

高中课本关联

增长率与百分数：$r = \dfrac{A-B}{B}$。本题是已知首项与末项求增长率的完整范例，且 3% 这个答案非常整齐。

方程反求参数：$2374(1 + \frac{x}{1000}) = 2445.22$。列方程解 $x$，比反复试算高效得多。

数量级意识：$0.003$ 与 $0.03$ 差十倍。让学生各算一遍 2374 的结果，亲眼看到 64 斛的差距——比讲十遍「注意小数点」都管用。

古籍校勘的方法论：本题展示了一种朴素的校勘思路——以算复核。当文字与计算结果矛盾时，可以反过来判断哪一个环节出了错。这种方法在数学史研究中至今在用。

思考与拓展

1. 算一算：分别按 $1.003$ 与 $1.03$ 计算 $2374$ 的结果，比较两个答案与答曰的差距。

2. 反推加率：用 $x = \left(\dfrac{2445.22}{2374} - 1\right) \times 1000$ 求出加率，验证是否恰为 30 升。

3. 改加率：若确实是「每斛加三升」（0.3%），答案应该是多少？写成斛斗升合的形式。

4. 十倍陷阱：把下面几组数分别乘 $1.003$ 与 $1.03$，算出差距：1000、5000、12345。观察基数越大，绝对差距如何变化。

5. 校勘练习：若另一本题面写「斛加三斗」，答案是多少？这时原文与答曰是否一致？由此说明本题的问题出在哪个字。

一句话总结

2374 乘 1.03 得 2445.22，与答曰分毫不差——「三升」还是「三斗」，一个字的差别，六十四斛的差距。