在仓九年：古人的简算与复利的差距

原典

今有粟，三十六万九千九百八十斛七斗，在仓九年，年斛耗三升。问：一年、九年各耗几何？

答曰：一年耗一万一千九十九斛四斗二升一合，九年耗九万九千八百九十四斛七斗八升九合。

术曰：置三十六万九千九百八十斛七斗，以三升乘之，得一年之耗，又以九乘之，即九年之耗。

白话翻译

有粟三十六万九千九百八十斛七斗，存入粮仓九年，每斛每年损耗三升。问：一年和九年各损耗多少？

答案是：一年损耗一万一千零九十九斛四斗二升一合，九年损耗九万九千八百九十四斛七斗八升九合。

术文给的算法是：拿三十六万九千九百八十斛七斗乘三升，得一年的损耗；再乘九，得九年的损耗。

这道题是《孙子算经》里最有金融意味的一道。 它不是简单的一次乘法——九年耗怎么从一年耗推出来，藏着「简算」与「复利」的分歧。

示意图

古人的算法

先算一年耗。 每斛每年耗三升，即损耗率

一年损耗

再算九年耗。 术文说「又以九乘之」，即

这里就是关键的数学判断。 术文把九年的损耗当成一年损耗的九倍。这个做法成立的前提是：每年损耗的都是最初那批存量，不考虑「损耗之后剩下的粟也在继续变少」。

换个说法：第一年损耗 $0.003 V_0$，此时仓里剩 $0.997 V_0$；第二年若按实际，应损耗 $0.003 \times 0.997 V_0$，比第一年少一点。但术文假设第二年仍损耗 $0.003 V_0$——它把存量固定在最初的水平上做线性外推。

这叫「简算」：够用就好，不必精确。

现代数学视角

两条路，两个答案。

路径一：简算（术文）

路径二：复利（逐年递减）

设第 $k$ 年初存量为 $V_{k-1}$，第 $k$ 年损耗 $0.003 V_{k-1}$，余下 $0.997 V_{k-1}$。九年累计损耗

用等比求和：

代入数值，九年累计约 $98704.4$ 斛；而术文的简算给 $99894.789$ 斛。简算比复利多算了约 1190 斛，相对差 1.19%。

古人选了简算，为什么合理？ 三个理由：

1. 损耗率极小（0.3%），九年累计不到 3%，复利效应很弱；
2. 古代仓储本来就是「陈陈相因」——每年新粮入仓、旧粮出粜，存量大致维持，不是一袋米放九年不动；
3. 算筹上「乘九」比「九次求和」容易得多，简算的效率优势压倒精度优势。

今天这件事叫「模型选择」。 银行算九年利息，必须用复利，差一分钱都是资产；粮仓估九年损耗，用线性外推完全够用。同一个数学问题，用简算还是用复利，取决于场景对精度的要求。

顺带一提：本题的原始数据有个疑点——按题面「三十六万九千九百八十斛七斗」（369980.7 斛）乘 0.003，得 1109.94 斛，与答曰「一万一千零九十九斛」相差十倍；而若按「三百六十九万九千八百零七斛」代入，则与答曰完全吻合。传本在数字上可能有脱漏。本书按答曰反推的数值讲解，重在算法而非数字。

高中课本关联

等比数列：复利路径正是 $0.003V_0, 0.003V_0 \times 0.997, \ldots$ 构成的等比数列求和。这是等比数列最实用的场景之一，比课本上的「细胞分裂」更贴近经济。

指数衰减：$0.997^k$ 是指数衰减模型。九年剩 $0.997^9 \approx 0.9732$，即损耗约 2.68%。这与简算的 2.7% 差 1.19%，正好让学生看到线性近似在低速率、短周期下够用，高速率下失效。

模型选择的思想：同一问题两种算法，差距 1.19%。让学生讨论：什么场合必须精确，什么场合简算更好？这是数学建模的核心训练。

数据核对的意识：本题原始数据与答案存在十倍差。让学生自己发现这个矛盾，比做十道题更有价值——读题时核对数量级，是工程师的基本功。

思考与拓展

1. 算一算：按简算，一年耗多少？九年耗多少？用题面数字验证与答曰的对应关系（注意十倍的疑点）。

2. 复利重算：设存量 $V_0$、年损耗率 $r = 0.003$，列出九年累计损耗的等比求和式，算出数值，与简算结果比较，求相对误差。

3. 损坏率变大会怎样：若年损耗率升到 30%，九年简算与复利各是多少？相对误差多大？由此说明「简算什么时候会失效」。

4. 真实仓储：若仓储不是九年不动，而是「每年陈粮出尽、新粮入仓」，存量始终不变，问九年总损耗是多少？这支持了简算还是复利？

5. 古今金融：本题的「年斛耗三升」类似今天的折旧率、损耗率。查一查企业固定资产折旧的两种方法（直线法与加速折旧法），它们分别对应本题的简算还是复利？

一句话总结

一年耗乘九就是九年耗——古人用一条乘法把九年的账算完；而复利告诉我们，损耗掉的粮食第二年就不再损耗了。