九家输租：一张两千年前的运费账单

原典

今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸九家共输租，甲出三十五斛，乙出四十六斛，丙出五十七斛，丁出六十八斛，戊出七十九斛，己出八十斛，庚出一百斛，辛出二百一十斛，壬出三百二十五斛，凡九家，共输租一千斛，僦运直折二百斛外。问：家各几何？

答曰：甲二十八斛，乙三十六斛八斗，丙四十五斛六斗，丁五十四斛四斗，戊六十三斛二斗，己六十四斛，庚八十斛，辛一百六十八斛，壬二百六十斛。

术曰：置甲出三十五斛，以四乘之，得一百四十斛；以五除之，得二十八斛。乙出四十六斛，以四乘之，得一百八十四斛；以五除之，得三十六斛八斗。丙出五十七斛，以四乘之，得二百二十八斛；以五除之，得四十五斛六斗。丁出六十八斛，以四乘之，得二百七十二斛；以五除之，得五十四斛四斗。戊出七十九斛，以四乘之，得三百一十六斛；以五除之，得六十三斛二斗。己出八十斛，以四乘之，得三百二十斛；以五除之，得六十四斛。庚出一百斛，以四乘之，得四百斛；以五除之，得八十斛。辛出二百一十斛，以四乘之，得八百四十斛；以五除之，得一百六十八斛。壬出三百二十五斛，以四乘之，得一千三百斛；以五除之，得二百六十斛。

白话翻译

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸九家共同缴纳租粮。各家原定承担的量是：甲三十五斛、乙四十六斛、丙五十七斛、丁六十八斛、戊七十九斛、己八十斛、庚一百斛、辛二百一十斛、壬三百二十五斛。九家合计应交一千斛，但其中二百斛是雇车运输的费用（僦运直），要从总额中扣除。问：各家实际应交多少？

答案是：甲二十八斛、乙三十六斛八斗、丙四十五斛六斗、丁五十四斛四斗、戊六十三斛二斗、己六十四斛、庚八十斛、辛一百六十八斛、壬二百六十斛。

术文给的算法是：逐家按「乘四、除五」折算——拿原定承担量乘四，再除以五。

这道题的要害在「僦运直折二百斛外」这七个字。 它把总账分成两部分：一千斛是名义总额，扣掉二百斛运费，实际要分摊的租粮只有八百斛。八百对一千，正是八折——所以每家的算法都是乘 4 除 5。

示意图

古人的算法

先看总账。

$$1000 - 200 = 800\ \text{斛}$$

这是九家实际要分摊的租粮总量。

再看比例。 从总额到实缴，是

$$\frac{800}{1000} = \frac{4}{5} = 80\%$$

八折。 术文的「以四乘之，以五除之」，就是在乘这个 $\dfrac{4}{5}$。

逐家验算。

家	原定	× 4	÷ 5	实际
甲	35	140	28	28 斛
乙	46	184	36.8	36 斛 8 斗
丙	57	228	45.6	45 斛 6 斗
丁	68	272	54.4	54 斛 4 斗
戊	79	316	63.2	63 斛 2 斗
己	80	320	64	64 斛
庚	100	400	80	80 斛
辛	210	840	168	168 斛
壬	325	1300	260	260 斛

九家实际负担的总和。

$$28 + 36.8 + 45.6 + 54.4 + 63.2 + 64 + 80 + 168 + 260 = 800$$

正好是 800 斛，与「总账减运费」完全吻合。

余家为什么要乘 4 除 5，而不是直接除 1000 再乘 800？ 因为古人在算筹上做「乘一个数、除一个数」比「除以 1000 再乘以 800」省事得多。$\dfrac{4}{5}$ 是最简比，用最小的两个整数把折扣表示出来。术文的每一个选择，都是为算筹优化的。

现代数学视角

用今天的语言，这是按比例分摊。

设原定额为 $x$，实际缴纳

$$y = x \times \frac{800}{1000} = 0.8x$$

每家都打八折，是统一比例的缩放。这类问题今天是「预算扣减」「运费分摊」的标准模型。

一个现代版对照：九个人合买一批货共 1000 元，另付运费 200 元由买家统一承担、不摊入个人成本，问每人实际付多少？算法与本题一模一样——按原份额打八折。

这题的会计思想很完整：它区分了「名义总额」与「实缴总额」，把运费单列，再按同一比例分摊差额。今天企业成本核算的「标准成本 vs 实际成本」，思路与此相通。

数字设计也极为讲究：原定额之和

$$35 + 46 + 57 + 68 + 79 + 80 + 100 + 210 + 325 = 1000$$

原定额之和正好是一千斛。 古人编题先定下「原额和 1000、实缴和 800」的总框架，再反填各家的数。这种「先定框架再填数」的编题法，在中算书里随处可见。

高中课本关联

比例与百分数：$80\%$ 的折扣。让学生从「总账 1000、运费 200」推出八折，再把八折翻译成 $\dfrac{4}{5}$。

加权分配：每家按原定额同比例缩放，是「保持结构不变的总量调整」。让学生比较：如果改成「每家平均分摊扣掉的 200 斛」会怎样？（答案：不公平，小户反而吃亏。）

分数与小数的混合运算：$46 \times \dfrac{4}{5} = 36.8$，小数与复名数（斛、斗）转换贯穿全题。$\dfrac{4}{5}$ 的尾数恰好都能用「斗」表示，因为分母是 5。

古今会计对照：让学生查今天的「折扣」「运费另计」「按比例分摊」各是什么规则，与本题的「僦运直折」逐条对应。

思考与拓展

1. 算一算：先算 $1000 - 200 = 800$、$\dfrac{800}{1000} = \dfrac{4}{5}$；再逐家乘四除五，最后验算九家之和为 800。

2. 验原定额：把九家原定额相加，看是否正好 1000 斛。这说明了古人编题的什么思路？

3. 换分摊法：若扣掉的 200 斛改为九家平均分摊，每家减多少？小户（甲）的压力变化如何？哪种分法更公平？

4. 改折扣：若运费改为三百斛，实缴率是多少？该「乘几除几」？重算甲、辛、壬三家。

5. 现代对照：九家公司按份额租一个仓库，年租金名义总额 100 万，物业费 20 万另算不摊入租金。各家的实付租金怎么算？请按本题的格式列一张表。

一句话总结

一千斛的名义租，扣掉二百斛运费正好八百——每家乘四除五，九家一加刚好回到八百，两千年前的运费账比今天还清爽。