分绵：余数化成两，再除一次

原典

今有绵，九万一千一百三十五觔，给与三万六千四百五十四户。问：户得几何？

答曰：二觔八两。

术曰：置九万一千一百三十五觔，为实；以三万六千四百五十四户，为法。除之，得二觔，不尽一万八千二百二十七觔，以一十六乘之，得二十九万一千六百三十二两，以户除之，即得。

白话翻译

有绵九万一千一百三十五斤，要分给三万六千四百五十四户。问每户得多少？

答案是：二斤八两。

术文给的算法是：拿九万一千一百三十五斤作为被除数，三万六千四百五十四户作为除数。除一下，得二斤，还剩一万八千二百二十七斤除不尽；于是拿十六乘这个余数，得二十九万一千六百三十二两，再拿户数除，就得零头。

这道题的核心不在除法，在「余数怎么办」。 一斤以下还有更小的单位「两」，古人把余数化成两继续除——这是古代处理有余除法的标准动作，也是今天小数的前身。

示意图

古人的算法

第一步，分出整斤。 以户数为法除总量：

验算：$36454 \times 2 = 72908$，$91135 - 72908 = 18227$ ✓

术文「除之，得二觔，不尽一万八千二百二十七觔」。

第二步，余数化成两。 一斤十六两，所以

术文「以一十六乘之，得二十九万一千六百三十二两」。

第三步，再除一次。

验算：$36454 \times 8 = 291632$ ✓ 恰好除尽，一两不剩。

合起来：每户得 二斤八两。

这个「恰好除尽」不是巧合。 反推一下：若每户得 $2$ 斤 $8$ 两 $= 2.5$ 斤，则总数应为 $36454 \times 2.5 = 91135$ 斤——正是题面所给。编题者先定每户二斤八两，再反推出总量九万一千一百三十五斤。 中算书编题常这样：先定答案，反凑数据，让每一步都能整除。

现代数学视角

用今天的小数，这道题一行就完：

$0.5$ 斤 $= 8$ 两，所以答案是二斤八两。

两种算法的关系，正是「分数与小数的古今之分」。

术文走的是「单位升级 + 再除一次」的路：把余下的 $0.5$ 斤不写成 $\dfrac{1}{2}$ 斤，而是换成 8 两。今天我们用小数点，$2.5$ 一个符号搞定。但本质完全一样：都是把「不夠一整分的部分」用更细的单位表示。

术文的做法甚至有一个今天小数没有的优点：它天然保留了单位。$2.5$ 斤到底是二斤八两，看一眼小数点还要换算；古人直接说「二斤八两」，市集上立刻能称。在没有标准重量单位的古代，报出「二斤八两」比报出「二点五斤」更实用。

为什么一斤是十六两？ 秦汉度量衡定「十六两为一斤」，与「二十四铢为一两」配套，整套衡制都是十六进制与二十四进制混用。这个「十六两」一直用到 20 世纪中叶，才有「十两一斤」的市斤。成语「半斤八两」说的正是这套旧制——半斤等于八两，比喻彼此相当。

高中课本关联

有余除法与余数处理：$91135 \div 36454 = 2 \cdots 18227$。古人不停在余数上，而是把余数化成下级单位继续除——这正是小数展开的朴素版本。

分数与小数互化：$\dfrac{91135}{36454} = 2\dfrac{1}{2} = 2.5$。让学生写出三种等价形式（带分数、假分数、小数），并换算成斤两。

单位进制：一斤十六两，是十六进制。让学生查一下还有哪些「非十进制」单位（时间 60 秒一分、角度 60 分一度、英制 12 件一打），讨论为什么这些领域不用十进制。

反向编题：已知每户 2 斤 8 两、共 36454 户，反推总量 $36454 \times 2.5 = 91135$ 斤。让学生体会古人编题的逻辑。

思考与拓展

1. 算一算：按术文算——$91135 \div 36454 = 2$ 余 $18227$；$18227 \times 16 = 291632$；$291632 \div 36454 = 8$。三步都要验算。

2. 小数对照：把 $\dfrac{91135}{36454}$ 算成小数，验证是 $2.5$；再把 $0.5$ 斤换算成两，看是否与术文一致。

3. 改数据：若总量改为十二万斤、户数仍三万六千四百五十四户，每户得几斤几两？（提示：$120000 \div 36454 \approx 3.29$ 斤，注意余数化两后是否除尽。）

4. 十六进制的痕迹：查「半斤八两」的典故，说明旧制为什么一斤是十六两；再查今天的市斤（十两一斤）是什么时候改的。

5. 反向编题：自己编一道题：先定每户得三斤十四两、共两万户，反推总量。然后请同学按术文三步解出来，验证能否整除。

一句话总结

除出二斤还剩一万八千多斤，古人把这堆余数乘十六化成两，再除一次，正好八两——有余除法的下半场，藏在小数出现之前的两千年里。