分绢七百八十七？一个数字拆穿粗心

原典

今有绢，七万八千七百三十二匹，令一百六十二人分之。问：人得几何？

答曰：四百八十六匹。

术曰：置绢七万八千七百三十二匹为实，以一百六十二人为法。实如法，即得。

白话翻译

有一批绢，共七万八千七百三十二匹。现在让一百六十二个人来分。问：每个人得多少？

答案是：每人四百八十六匹。

术文的算法是：把绢七万八千七百三十二匹当作「实」（被除数），把一百六十二人当作「法」（除数）。除一遍，就得到答案。

示意图

古人的算法

术文仍然是那道标准模板——点实、点法、一句「除之，即得」。数字上的全部内容就是

先说一个最容易犯的错。 看到七万八千人分七万八千匹，很多人会脱口而出「差不多一人七百多匹」。粗算：$162 \times 700 = 113400$，已经远超 78732。这一撞就知道估高了。七百多这个数只能作废，真实答案在五百以下：$162 \times 500 = 81000$，仍高于 78732；$162 \times 480 = 77760$，低于它。商落在 480 与 500 之间。

余下 972 匹再分给 162 人，每人再得 6 匹（$162 \times 6 = 972$）。所以

验算答曰：$162 \times 486 = 78732$，与题设的七万八千七百三十二匹严丝合缝，余数为 0。「四百八十六匹」完全正确。

这道题还有一层好看的地方：它除尽了。把它拆开看

被除数和除数都是高次幂的组合，商自然干净。这不是偶然——《孙子算经》编题时选数字，常常让答案落在整数上，便于用算筹一步到底。反过来，卷下第 6 题那道「租九万八千七百六十二斛」（第 44 讲）就留了一个 12 斛的零头，两题并排看，正好是「除尽」与「有余」两种情形的配对。

现代数学视角

用今天的记号，这是一道最朴素的整数除法

分子分母先约分：$78732 = 2^2 \cdot 3^9$，$162 = 2 \cdot 3^4$，约去 $2 \cdot 3^4$ 之后得 $2 \cdot 3^5 = 486$。约分和长除法是同一条路的两种走法，一条先拆因子再化简，一位一位往下除，终点相同。

真正值得练的是量纲意识。「匹」是绢的单位，「人」是个数单位，两者相除得到「匹每人」——这正是「分母是两个不同类的量」的最早实例。今天物理里说速度单位是「米每秒」、密度是「千克每立方米」，与「匹每人」是同一个构造：一个单位除以另一个单位，得到一个新的单位。 高中物理一上来就要求「算式带单位运算」，源头就在这里。

还有一条反向的验算习惯：答案求出后乘回去。$162 \times 486 = 78732$，一个乘法就把整道题验完了。会验算的人不会把七百八十七写成答案——因为 $162 \times 787$ 会算出十二万七千多匹，比题给的还多出四万八千匹，一眼就看出来不对。

高中课本关联

整除与最大公约数：$\gcd(78732, 162) = 162$，也就是除数整除了被除数。课本由此给出「$a$ 能被 $b$ 整除」的定义，并把这类判断转化成质因数分解：各处指数取小。本题分析中约去 $2 \cdot 3^4$ 正是这一步。

分数与约分：把 $\dfrac{78732}{162}$ 化成最简分数，答案是整数 486。约分的规则（分子分母同除公因数，值不变）在本题上得到最干净的体现——约到最简已经不是分数而是整数，说明两个数之间有整除关系。

单位与量纲：「匹每人」这个单位在物理里对应密度、速率一类的导出单位。数学上它是量的比，物理上它要求单位参与运算。养成「算完带上单位、单位也要约」的习惯，是初中到高中的一道关键坎。

思考与拓展

1. 换人数：若一百六十人分之，问人得几何？此时有零头吗？若改一百六十三人，商和余数各是多少？
2. 估答案：不列竖式，只用 $162 \times 500$ 与 $162 \times 400$ 两个整估，把本题的商夹出一个范围，再求准确值。
3. 拆因数：把 78732、162、486 都分解质因数，说明为什么这道题恰好除尽。若把绢数改为 78733，还能除尽吗？差在哪一个因子上？
4. 倒过来问：若一百六十二人分之，每人得四百八十六匹，问共有绢几何？再用「每人四百八十七匹」试算，总数多出多少？这说明总数有唯一性吗？
5. 配单位：若一匹马每天吃 6 升料，问 12 匹马 5 天共吃多少升？把「匹每人」和「升每匹每天」对照着写，说明单位相乘、相除各在什么情形下出现。

一句话总结

$162 \times 486 = 78732$，一匹不多一匹不少——会乘回去验算的人，永远不会把七百八十七当成答案。