一车五十斛：带余除法写成古汉语是什么样

原典

今有租，九万八千七百六十二斛，欲以一车载五十斛。问：用车几何？

答曰：一千九百七十五乘奇一十二斛。

术曰：置租九万八千七百六十二斛为实，以一车所载五十斛为法。实如法，即得。

白话翻译

有一批租谷，共九万八千七百六十二斛。想用车来运，每辆车装五十斛。问：要用多少辆车？

答案是：一千九百七十五整车，还多一十二斛。

术文的算法是：把租谷九万八千七百六十二斛当作「实」（被除数），把一车能装的五十斛当作「法」（除数）。实除以法，就得到答案。

示意图

古人的算法

这道题的术文是《孙子算经》里除法运算的标准模板：先点明谁是实、谁是法，再说「实如法，即得」。这句话在全书反复出现，性质相当于今天的「被除数除以除数」。本题的全部数学内容，就是把这一句落到具体数字上。

先算 1975 是怎么来的。 用五十去试除九万八千七百六十二，逐步往下减：

三段的倍数加起来是 $1900 + 70 + 5 = 1975$，剩下的零头是 12。所以

验算答曰：$1975 \times 50 = 98750$，加上奇零 12，得 98762，与题设完全吻合。$1975 \times 50 + 12 = 98762$。

这里必须讲清「乘」和「奇」两个字的用法，它们不是修饰词，而是两个专门的位置名词。

• 「一千九百七十五乘」：1975 份完整的「一车五十斛」，也就是今天说的商。
• 「奇一十二斛」：「奇」读作 $jī$，指零头、余数，即除尽之后不足一份的那部分。

于是「一千九百七十五乘奇一十二斛」这一句，翻译成今天的记号就是

余数必须小于除数，这一条古人是守着的。 12 小于 50，所以它是一个合法的「奇」。假如余出来 56，那就不该叫「奇 56」，而应再算一乘、奇 6。古算书里几乎看不到违反这条的答案，这说明「带余除法」的结构在秦汉就已经很稳了。

现代数学视角

今天的写法是带余除法：对整数 $a$ 与正整数 $b$，存在唯一的一对整数 $q, r$ 使得

在本题里 $a = 98762$、$b = 50$、$q = 1975$、$r = 12$。「乘」就是 $q$，「奇」就是 $r$，术文的「实」是 $a$，「法」是 $b$。 四个字，四个符号，一一对应。

换成小数，答案是

小数 1975.24 与带余写法 $1975$ 余 $12$ 讲的是同一件事，但小数把余数「化整」进了小数位，带余写法则保住余数的独立身份。在古代，这个区别有实际后果：剩下的 12 斛谷物是看得见摸得着的实物，它要入库、要记账，不能被抹成一个不完整的小数位。今天会计上「1975 套余 12 件」的库存表述，与「奇一十二斛」是同一个逻辑。

还有一个反方向的问题值得注意：如果问的是「需要多少辆车才能一次运完」，答案就不是 1975 而是 1976。 1975 车运走 98750 斛，还差 12 斛没搬完，必须再派一辆。所以

同一个算式，答曰「1975 余 12」回答的是「装了多少整车」，答「1976」回答的是「跑一趟要几辆车」。问题问法不同，答案就不同，这是带余除法最容易被高中生搞混的地方。

高中课本关联

带余除法与整除：课本在「整除」一章给出 $a = bq + r$（$0 \le r < b$），并由此定义「$b$ 整除 $a$」当且仅当 $r = 0$。本题 $r = 12 \ne 0$，所以 50 不整除 98762。反过来，$98762 = 2 \times 19 \times 23 \times 113$，而 $50 = 2 \times 5^2$——共有的因子只有 2，所以最大公约数是 2，$\dfrac{98762}{50}$ 约分到最简就是 $\dfrac{49381}{25}$。

算法与程序：带余除法正是编程里取余运算的原型。98762 // 50 得 1975，98762 % 50 得 12，两个值分开存放。「奇」这个字在今天的代码里叫 remainder，位置不同，职责一样。

不等式与取整：向上取整 $\lceil x \rceil$ 是高中常见记号，它的现实原型就是「剩一点也得再跑一趟」。从 $98762 = 1975 \times 50 + 12$ 推出车数为 1976，是一个标准的「由商和余数得到上取整」的推理。

思考与拓展

1. 换一组数：若租谷九万八千七百五十斛，仍以一车载五十斛，问用车几何？此时有「奇」吗？再算租谷九万八千七百六十三斛的情形。
2. 满载与跑空：就第 1 题的三种数据，分别回答「装了多少整车」和「一次运完需派几辆车」。两个答案何时相同、何时不同？
3. 改换车载：若租谷仍为九万八千七百六十二斛，改为一车载五十五斛，问乘几何、奇几何？（先估一估商会变小，再算准确值验算。）
4. 分几天运：车队每天最多运一万斛。若按本题数据租谷共 98762 斛，问需几天运完？最后一天运多少？把「每天上限」当成一个新的「法」，余数怎么解释？
5. 余数的约束：找一个大于 98762 的租谷数，使一车五十斛时「奇」恰好为 49；再找一个使「奇」为 0 的数。这两类数各写出通项形式。

一句话总结

「乘」与「奇」两个字，把带余除法的商和余数钉在了古汉语里——98762 除以 50，得 1975 乘奇 12，结构与今天的 $a = bq + r$ 分毫不差。