十九道棋盘：一道题把平方数钉在生活里

原典

今有棋局，方一十九道。问：用棋几何？

答曰：三百六十一。

术曰：置一十九道，自相乘之，即得。

白话翻译

有一张方形的棋盘，横竖都是一十九道。问：摆满整个棋盘，一共要用多少枚棋子？

答案是：三百六十一枚。

术文的算法是：拿「一十九道」自己乘自己，就得到答案。

示意图

古人的算法

这道题的术文短到只有一句，「自相乘之」四个字就是全部算法。但正因为短，它才最值得停下来看：古人把「一个数乘它自己」这件事，用一个单独的动作命名了。

在算筹上，「方一十九道」是一张 $19$ 行 $19$ 列的网格。要数清交叉点上的棋子，一行一行数是笨办法；「自相乘之」则是把二维的格子数还原成一维的乘法——这正是「平方」这个词的来历：方形的一边自乘，得它的面积。

验算答曰：$19 \times 19 = 361$，与「三百六十一」吻合。

这里还可以走另一条路。$361$ 是从 1 开始的连续奇数之和，前 19 个奇数加起来恰好是 $19^2$：

这不是巧合。每往方形棋盘外扩一圈，新增的棋子数总是一个奇数：第一圈是 1 枚（天元），第二圈多 8 枚，第三圈多 16 枚……第 $k$ 圈新增 $8(k-1)$ 枚。19 道的棋盘一共 19 圈，圈与圈之间的增量恰好把 $1, 3, 5, \ldots$ 这条奇数列顶了出来。古人用「自相乘」一步到位，我们用「逐圈累加」慢慢爬，两条路在 361 会合。

顺带一个棋盘上的实情：19 路棋盘正中心是「天元」一位，其余 $361 - 1 = 360$ 枚黑黑白白对半分，黑 181、白 180——多出来的一枚归先行的黑方。这也是「让先」在实物层面的体现。

现代数学视角

用今天的说法，这道题是一个正整数的平方，但它至少有三层含义值得分开看。

第一层：平方数。 $361 = 19^2$，而 $361 = 19 \times 19$ 的另一种分解方式提醒我们它不是质数——$19$ 是质数，所以 $19^2$ 的因子只有 $1, 19, 361$ 三个。质数的平方永远只有三个正因子，这是数论里一条极简的判据。

第二层：奇数和与平方数的对应。 前 $n$ 个奇数之和等于 $n^2$，这条恒等式可以用图形一眼看穿：每个奇数对应方形外新增的一圈。它在今天是「数列求和」的经典例题

代入 $n = 19$，左端是 $1+3+\cdots+37$，右端是 $361$。算筹时代的「自相乘」和图解时代的「逐圈加」是同一个定理的两种证法。

第三层：棋盘格子的计数。 如果把「道」换成「格」，19 路棋盘上的交叉点有 361 个，但棋盘上的正方形远不止 361 个——边长为 1 的有 $19^2$ 个，边长为 2 的有 $18^2$ 个，一直到边长为 19 的有 $1^2$ 个，总数是

而长宽不等的矩形（含正方形）共有

个。同一个「19」，用来数棋子是一道乘法，用来数格子是一道求和，用来数矩形就要请组合数出场。 一道《孙子算经》的小题，往深里挖能通到高中选修的内容。

高中课本关联

等差数列求和：$1+3+5+\cdots+37$ 是首项 1、公差 2 的等差数列，19 项。用公式算：$\dfrac{19 \times (1+37)}{2} = \dfrac{19 \times 38}{2} = 361$。同一个 361，课本用公式得到，古人用「自相乘」一步得到——课本的公式是这条路径的压缩版。

平方和公式：上面数正方形总数用到的 $1^2+2^2+\cdots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，是高中数列的重点公式。把 $n=19$ 代进去得 2470，做题时不妨先用棋盘想象一下每加一项多出来的一圈方形，公式就不容易记错。

数论的因子判据：$361$ 只有三个正因子，这一条可以直接当「质数平方」的判别练习。反方向问：一个数恰好只有三个正因子，它一定长什么样？答案是某个质数的平方——这类小题在竞赛选择题里很常见。

思考与拓展

1. 换一个边数：若棋局方一十七道，问用棋几何？再用「前 $n$ 个奇数和」的方法验证，两个结果一致吗？
2. 数格子：19 路棋盘上一共能数出多少个正方形（任意边长）？先自己画 3 路、4 路的小棋盘找规律，再推广到 19 路。
3. 让先问题：19 路围棋黑白对下，先行一方最终会多占几个交叉点？若棋盘改成 17 路或 21 路，「多一枚」的结论还成立吗？与边长的奇偶有什么关系？
4. 逐圈累加：以天元为第 1 圈，19 路棋盘第 10 圈新增多少枚棋子？19 圈全部累加是否得 361？请列出增量数列。
5. 反着问：若已知用棋 441 枚且恰好摆成方形，问棋局方几道？若用棋 400 枚呢？什么样的棋子数能被「方若干道」恰好摆满？

一句话总结

一句「自相乘之」，把 19 道棋盘压成 361 枚棋子——最短的术文背后，是平方数、奇数和与棋盘格子数三条通道在同一个出口会合。