佛书二十九章：全书最简单，也最容易被跳过

原典

今有佛书，凡二十九章，章六十三字。问：字几何？

答曰：一千八百二十七。

术曰：置二十九章，以六十三字，乘之，即得。

白话翻译

有一部佛书，共二十九章，每章六十三字。问：全书共多少字？

答案是：一千八百二十七字。

术文给的算法是：把二十九章放着，拿六十三字去乘它，就得到答案。

示意图

古人的算法

术文八个字，是全卷最短的之一，短到几乎无话可说。但短有短的道理，拆开看，每一个字都站得住。

「置二十九章」——把章数放在实位。这里要注意一件事：题干给了两个数，术文只说了把其中一个「置」起来，等于直接指定了它在算式里的位置。二十九章是被乘数。

「以六十三字，乘之」——拿六十三字作乘数。这里比上一讲有意思：乘数是带着单位的，「六十三字」，不是光秃秃一个六十三。乘法在中国古算里从来不是抽象数字的游戏，两个量相乘，得到第三个量——这本书的三个量分别是章数、每章字数、全书字数。

「即得」——一乘就完了。

二十九乘六十三。今天的学生拿到这个题，两秒出答案；在算筹上，它是一次规规矩矩的三位乘两位。古人不必拆位，因为九九表一直背到九十九——本卷第 4 讲讲「九九歌」时说过，那张表就是干这个用的：

为什么不是二十九加六十三？ 这是本题唯一值得问一下的地方。二十九章，每章六十三字，如果一章一章数，数的是二十九次六十三；把二十九个六十三合成一个数，就是乘法。加法是「合起来」，乘法是「同样多的份数叠起来」——二十九是份数，六十三是每份的量。看清哪个是份数、哪个是每份的量，是列式的全部功夫。

顺手验一验

乘法最可靠的检查是拆开来再算一遍：

两条路都通到 $1827$。第二种拆法正是古人在算筹上做的：先算 $29 \times 60$，再算 $29 \times 3$，两次部分积加起来。今天课本叫「乘法分配律」，算筹上叫「因乘分解」，在《孙子算经》里它已经是用得极其熟练的基本功。

反过来用除法也能验：$1827 \div 29 = 63$，$1827 \div 63 = 29$，两个都对上，说明三个数没有一处笔误。乘法与除法互为验算，这是从《孙子算经》到今天一字未变的检查习惯。

现代数学视角

这道题在现代数学的眼睛里，至少有三个层次。

第一层：它就是乘法定义本身。 章数是二十九份，每份六十三字，总量就是份数乘每份的量：

如果章数变了，$N$ 跟着章数同比例变——章数翻倍，全书字数翻倍。这是一个正比例关系，比例系数就是每章六十三字。

第二层：它是「重复单元总量」的模型。 一部书的总量由两样东西决定：多少章，每章多少字。把章数记作 $m$、每章字数记作 $c$，总量 $N = mc$。这是一切「若干个同样的东西堆在一起」问题的原型——多少袋，每袋多重；多少行，每行几个；多少天，每天几斛。只要看到「若干个同样的东西」，式子就应该是乘法。

同一章里如果每章字数不一样，比如前十五章每章六十三字、后十四章每章五十六字，式子立刻变成 $15 \times 63 + 14 \times 56 = 945 + 784 = 1729$。加号一出现，就说明题目已经换了模型——从「统一单元」变成了「分区统计」。看式子里是乘号还是加号打头，就知道这道题属于哪一类。

第三层：估算的量级感。 不用真算，先估一下：二十九约三十，六十三约六十，三十乘六十是一千八百。真值 $1827$，估的 $1800$，差百分之一点五。估算是抓错的工具——如果算出来是一百八十二，或是一万八千二，不用复查就知道错了。今天考试时「先估后算」，用的正是这道题教的本事。

顺一顺这道题的来历

这道题在全书的位置值得看一眼：它紧跟在「丁一千五百万出兵四十万」和「平地聚粟」之后，一难一易排在一起。前一道要拆圆锥的体积，要记得圆周率的约定，要记得斛法；这一道只需要两次部分积。古算书把复杂题与简单题交替编排，这不是偶然，是让读它的人在做完大题之后有个喘口气的地方，也是在提醒：算学的底子，一大半是靠简单题练熟的。

也可以说，这道题是全书乘法的一个标准样式。卷中第 4 讲讲九九歌，本卷后面还有「雉兔同笼」「三女相会」——只要是「同样的份数反复出现」，最后都用一次乘法收尾。把《孙子算经》的题按运算归一遍类，出现最多的就是这种一句话算术。

再看一个数：$1827$ 每四秒读一个字，一口气读完要两小时零两分钟。一部两千年前的书，两千个字正好是「一个下午的诵读量」，这个尺度跟今天一篇长文的阅读时间相当。古算题里的数字不是随手编的，它们大多长在日常经验的边上。

高中课本关联

乘法与分配律：$29 \times 63 = 29 \times (60 + 3)$ 是分配律的标准用法。高中一年级学代数变形，$a(b+c) = ab + ac$，原型就是这个。

一次函数与建模：$N = 63m$ 是一条标准的正比例函数。课本里「一打十二个，$m$ 打多少个」问的就是它——把「每章六十三字」换成「每打十二个」，式子一个字母都不改。数学建模里换皮不换骨，是最该练的眼力。

数列与求和：如果问的不是总字数，而是「第 $k$ 章的最后一个字是全书的第几字」，答案是 $63k$——一个等差数列，公差是六十三字。前 $k$ 章共 $63 \times \dfrac{k(k+1)}{2}$ 字。这道题的算式可以立刻改写成一道数列题。

近似计算：估算 $29 \times 63 \approx 1800$，相对误差约百分之一点五。课本里「用四舍五入取近似值」的练习，在这里有了实际用途：先估后算，用来对答案。

思考与拓展

1. 换一组数：若佛书凡三十五章，章五十六字，问字几何？（提示：三十五乘五十六，先估一下是两千左右，再算准。）

2. 反着问：若一部佛书凡二十二章，共一千四百五十二字，问章均几字？

3. 改成分数：若末一章只有半章那么多字（每章六十三字的一半），全书共多少字？（提示：$28 \times 63 + 31.5$。）

4. 编一道类似的题：若一车装五十斛，问运二百斛需几车？把你的题目写成「题面—答—术」三段，跟《孙子算经》的格式对照。

一句话总结

二十九章乘六十三字等于一千八百二十七，八个字的术文配一个两秒的出题——但这道题是全书乘法结构的一个缩影：份数乘每份的量，看清哪个是份数，式子的全部功夫就完了。