僧人分瓜——递推与等比数列

原典

今有瓜一担，每日分一半多一个，七日分尽。问：瓜原重几何？

——《算法统宗》卷七·言古代数

这道题说的是什么

有一个瓜，每天吃掉剩下的一半再加一个，七天后正好吃完。问：瓜原来多重？

这道题的关键在于理解"每天分一半多一个"的含义——每天吃掉的量是前一天剩余量的函数，这形成了一个递推关系。

建立递推关系

设第 $n$ 天开始时有 $a_n$ 个瓜（或 $a_n$ 斤）。

每天吃掉 $\frac{a_n}{2} + 1$，剩下：

$$a_{n+1} = a_n - \left(\frac{a_n}{2} + 1\right) = \frac{a_n}{2} - 1 \qquad (1)$$

第七天后吃完，即 $a_8 = 0$。

逆向递推：

$$a_n = 2(a_{n+1} + 1) \qquad (2)$$

计算：

• $a_8 = 0$
• $a_7 = 2(0 + 1) = 2$
• $a_6 = 2(2 + 1) = 6$
• $a_5 = 2(6 + 1) = 14$
• $a_4 = 2(14 + 1) = 30$
• $a_3 = 2(30 + 1) = 62$
• $a_2 = 2(62 + 1) = 126$
• $a_1 = 2(126 + 1) = 254$

答案：瓜原来重 254 个单位。

示意图

每天吃掉剩下的一半多一个，七天吃完。初始量为 254。

通项公式：等比数列的变体

递推公式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2} - 1$ 是一个一阶线性递推。标准解法是构造等比数列：

设 $a_n = b_n + c$，代入递推式：

$$b_{n+1} + c = \frac{b_n + c}{2} - 1$$

令 $c = \frac{c}{2} - 1$，解得 $c = -2$。

所以：

$$b_{n+1} = \frac{b_n}{2} \qquad (3)$$

$b_n$ 是公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列：

$$b_n = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \qquad (4)$$

还原：

$$a_n = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2 \qquad (5)$$

利用边界条件 $a_8 = 0$：

$$0 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 - 2 = \frac{b_1}{128} - 2$$

解得 $b_1 = 256$，所以：

$$a_n = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2 = 2^{8-n} \cdot 2 - 2 = 2^{9-n} - 2 \qquad (6)$$

验证 $a_1$：

$$a_1 = 2^8 - 2 = 256 - 2 = 254 \qquad (7)$$

推广：$k$ 天后吃完

如果 $k$ 天后吃完，初始量为：

$$a_1 = 2^{k+1} - 2 \qquad (8)$$

当 $k = 7$ 时，$a_1 = 2^8 - 2 = 254$，与前面一致。

有趣的现象：无论 $k$ 是多少，初始量都是 $2^{k+1} - 2$。这意味着天数每增加 1，初始量就翻倍减 2。

等比数列的联系

这道题的递推关系 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2} - 1$ 可以转化为等比数列。关键技巧是常数偏移——通过减去一个常数，把递推式变成纯等比形式。

这正是高中数学中处理一阶线性递推的标准方法：

$$a_{n+1} = pa_n + q \implies a_n = C \cdot p^n - \frac{q}{p-1} \qquad (9)$$

其中 $C$ 由初始条件确定。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：递推数列是高中数学数列章节的核心内容。形如 $a_{n+1} = pa_n + q$ 的递推需要通过"常数偏移"转化为等比数列，这是高考常考题型。

运算练兵场：等比数列的通项公式、求和公式是基础运算，与此题紧密结合。

综合题常客：递推数列常与不等式、极限等知识结合，出现在高考中档题中。

思考与拓展

1. 如果每天吃掉剩下的一半少一个，七天吃完，瓜原重多少？

2. 证明：对于递推 $a_{n+1} = pa_n + q$，通项为 $a_n = C \cdot p^{n-1} - \frac{q}{p-1}$。

3. 如果每天吃掉剩下的一半，但第一天多吃一个，第二天多吃两个……第 $k$ 天多吃 $k$ 个，求初始量。

4. 查阅资料：这个问题在古希腊数学中也有类似形式，称为"猴子分椰子"问题。

一句话总结

僧人分瓜通过递推关系 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2} - 1$ 将问题转化为等比数列，体现了递推与函数思想的深度融合。