楼梯问题——等差数列求和

从一个问题开始

你爬楼梯，第一级走 1 步，第二级走 2 步，第三级走 3 步……一直走到第十级。总共走了多少步？

这个问题看起来很朴素，但背后是一个重要的数学工具：等差数列求和。

《算法统宗》中有这样一道题：

今有阶梯，自第一级至第十级，每级高一尺五寸，问阶梯总高几何？

这道题用现代数学翻译就是：求 $1 + 2 + 3 + \cdots + 10$ 的值。

等差数列的定义

等差数列：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（公差）。

若首项为 $a_1$，公差为 $d$，则第 $n$ 项为：

$$a_n = a_1 + (n-1)d \qquad (1)$$

前 $n$ 项和：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \qquad (2)$$

或写成：

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d \qquad (3)$$

高斯的故事

传说高斯 10 岁时，老师让他计算 $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$。高斯没有逐项相加，而是发现了一个巧妙的配对：

$$\begin{aligned} 1 + 100 &= 101 \\ 2 + 99 &= 101 \\ 3 + 98 &= 101 \\ &\vdots \\ 50 + 51 &= 101 \end{aligned} \qquad (4)$$

共 50 对，每对和为 101，所以总和为 $50 \times 101 = 5050$。

这个方法可以推广到任意等差数列——倒序相加法：

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \cdots + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1 \end{aligned} \qquad (5)$$

两式相加：

$$2S_n = n(a_1 + a_n)$$

所以：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \qquad (6)$$

示意图

楼梯每级比前一级高一尺五寸，总高度构成等差数列。

解楼梯问题

回到《算法统宗》的阶梯问题：第一级高 1.5 尺，第二级高 3 尺，第三级高 4.5 尺……第十级高 15 尺。

这是首项 $a_1 = 1.5$、公差 $d = 1.5$、项数 $n = 10$ 的等差数列。

末项：

$$a_{10} = 1.5 + 9 \times 1.5 = 1.5 \times 10 = 15 \text{ 尺} \qquad (7)$$

总和：

$$S_{10} = \frac{10 \times (1.5 + 15)}{2} = 5 \times 16.5 = 82.5 \text{ 尺} \qquad (8)$$

等差数列的其他性质

性质 1：下标和相等，项值之和相等

若 $m + n = p + q$，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$。

性质 2：部分和仍成等差

$S_n, S_{2n} - S_n, S_{3n} - S_{2n}, \ldots$ 也构成等差数列，公差为 $n^2d$。

性质 3：中项公式

若 $2n = m + p$，则 $a_n = \frac{a_m + a_p}{2}$（等差中项）。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：等差数列是高中数学必修内容，求和公式是高考必考知识点。等差数列与等比数列常常对照学习（加变乘、乘变乘方）。

运算练兵场：等差数列求和涉及大量代数运算，是训练计算准确性的良好素材。

综合题常客：等差数列常与函数、不等式、数列极限等知识结合，出现在高考压轴题中。

思考与拓展

1. 求 $1 + 2 + 3 + \cdots + 1000$ 的值。

2. 证明：等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数（无常数项）。

3. 一个等差数列的首项为 3，公差为 4，问第几项首次超过 100？

4. 如果楼梯问题改为：第一级高 1 尺，第二级高 1.2 尺，第三级高 1.4 尺……问多少级后总高度超过 10 丈（1 丈 = 10 尺）？

一句话总结

等差数列求和公式 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ 源于高斯的倒序相加法，是连接算术与代数的桥梁。