李白打酒——不定方程的经典

原典

今有大人小儿共四十二人，一人须三穗，一人须一穗，问大人、小儿各几人？

——《算法统宗》卷五·盈不足

今有李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。试问：壶中原有多少酒？

——《算法统宗》卷七·言古代数

这道题说的是什么

李白提着空壶去买酒，每遇到一家店，壶中的酒就翻倍；每看到一朵花，就喝掉一斗。他这样"遇店又遇花"重复了三次，最后壶正好空了。问：壶里原来有多少酒？

这道题看似简单，却蕴含了逆向推理的核心思想——从结果倒推原因。

示意图

三遇店和花：每次先遇店翻倍，再遇花喝一斗，三次后壶空。

逆向推理：从终点往回走

正向思考很困难——我们不知道初始量，却要预测三次操作后的结果。但逆向思考就简单了：

已知最终状态：0 斗。问：操作前三次，每次之前有多少？

设壶中原有酒 $x$ 斗。

第三次遇花后为 0，说明第三次遇花前有 1 斗（喝掉 1 斗后变 0）。

而第三次遇花前的 1 斗，是第三次遇店翻倍的结果，所以第三次遇店前有：

$$\frac{1}{2} \text{ 斗} \qquad (1)$$

第二次循环：第二次遇花后有 $\frac{1}{2}$ 斗，说明第二次遇花前有 $\frac{3}{2}$ 斗（喝 1 斗剩 $\frac{1}{2}$）。

第二次遇花前的 $\frac{3}{2}$ 斗是第二次遇店翻倍的结果，所以第二次遇店前有：

$$\frac{3}{4} \text{ 斗} \qquad (2)$$

第一次循环：同理，第一次遇花前有 $\frac{5}{4}$ 斗，第一次遇店前有：

$$\frac{5}{8} \text{ 斗} \qquad (3)$$

验证：$\frac{5}{8} \times 2 - 1 = \frac{1}{4}$，$\frac{1}{4} \times 2 - 1 = -\frac{1}{2}$

递推关系

设第 $n$ 次遇店前有 $a_n$ 斗酒。

$$\begin{aligned} &\text{遇店后：} 2a_n \\ &\text{遇花后：} 2a_n - 1 = a_{n+1} \end{aligned} \qquad (4)$$

边界条件：第三次遇花后为 0，即 $2a_3 - 1 = 0$，所以 $a_3 = \frac{1}{2}$。

倒推：

$$a_n = \frac{a_{n+1} + 1}{2} \qquad (5)$$

计算：

$$a_3 = \frac{1}{2}, \quad a_2 = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} = \frac{3}{4}, \quad a_1 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} = \frac{7}{8}$$

答案：壶中原有 $\frac{7}{8}$ 斗酒。

验证：

• 原有 $\frac{7}{8}$，遇店 → $\frac{7}{4}$，遇花 → $\frac{3}{4}$
• 遇店 → $\frac{3}{2}$，遇花 → $\frac{1}{2}$
• 遇店 → $1$，遇花 → $0$ ✓

通项公式：等比数列的倒推

递推公式 $a_n = \frac{a_{n+1} + 1}{2}$ 是一个线性递推。改写为：

$$a_{n+1} = 2a_n - 1 \qquad (6)$$

这是形如 $a_{n+1} = pa_n + q$ 的递推，通解为：

$$a_n = C \cdot 2^n + 1 \qquad (7)$$

代入边界条件 $a_3 = \frac{1}{2}$：

$$C \cdot 8 + 1 = \frac{1}{2} \implies C = -\frac{1}{16}$$

所以：

$$a_n = 1 - \frac{1}{16} \cdot 2^n = 1 - 2^{n-4} \qquad (8)$$

初始量（$n=1$）：

$$a_1 = 1 - 2^{-3} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \qquad (9)$$

推广：$k$ 次遇店和花

如果李白遇到了 $k$ 次店和花，初始酒量为：

$$a_1 = 1 - \frac{1}{2^k} \qquad (10)$$

当 $k=3$ 时，$a_1 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$，与前面一致。

极限情况：当 $k \to \infty$ 时，$a_1 \to 1$。也就是说，如果李白无限次遇店遇花，他只需要 1 斗酒就"够用了"——每次翻倍后再喝 1 斗，酒量始终趋近于 1。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：李白打酒问题本质上是一个一阶线性递推数列。高中数学中，形如 $a_{n+1} = pa_n + q$ 的递推是数列章节的重点内容，解法是构造等比数列。

运算练兵场：递推公式的求解涉及等比数列通项、待定系数法，是高考数列大题的常见考法。

综合题常客：不定方程和递推数列常常结合出题，考查学生的转化能力和计算准确性。

思考与拓展

1. 如果李白"四遇店和花"后壶空，壶中原有多少酒？

2. 证明：对于 $k$ 次遇店和花，初始酒量为 $1 - \frac{1}{2^k}$。

3. 如果每次遇店加一倍后，遇到花喝的不是 1 斗而是 $d$ 斗，求初始酒量的通项公式。

4. 查阅资料：这个问题在宋代《算学启蒙》中也有记载，称为"李白沽酒"。比较两个版本的异同。

一句话总结

李白打酒用逆向推理将复杂过程简化为线性递推，体现了"从结果反推条件"的数学思维，是一阶线性递推数列的经典入门题。