空间中两条直线——平行、相交、异面

(1)证明：由题意证明如下， 在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA$ ⊥平面 $ABCD$ ， $AB⊥AD$ ， $AB⊂$ 平面 $ABCD$ ， $AD⊂$ 平面 $ABCD$ ， ∴ $AP⊥AB$ ， $AP⊥AD$ ， ∵ $AP⊂$ 平面 $PAD$ ， $AD⊂$ 平面 $PAD$ ， $AP∩AD=A$ ， ∴ $AB⊥$ 平面 $PAD$ ， ∵ $AB⊂$ 平面 $PAB$ ， ∴平面 $PAB⊥$ 平面 $PAD$ .
(2)（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $AP⊥AB$ ， $AP⊥AD$ ， $AB⊥AD$ ， $BC$ ∥ $AD$ ， $PA=AB=\sqrt{ 2 }$ ， $AD=1+\sqrt{ 3 }$ ， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴ $A\left\{ ( { 0,0,0 } \right ),B\left ( { \sqrt{ 2 },0,0 } \right ),C\left ( { \sqrt{ 2 },2,0 } \right ),D\left ( { 0,1+\sqrt{ 3 },0 } \right ),P\left ( { 0,0,\sqrt{ 2 } } \right )$ ， 若 $P$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个球面上， 则 $\left | { OP } \right |=\left | { OB } \right |=\left | { OC } \right |=\left | { OD } \right |$ ， 在平面 $xAy$ 中， ∴ $A\left ( { 0,0 } \right ),B\left ( { \sqrt{ 2 },0 } \right ),C\left ( { \sqrt{ 2 },2 } \right ),D\left ( { 0,1+\sqrt{ 3 } } \right )$ ， ∴线段 $CD$ 中点坐标 $F\left ( { \frac { \sqrt{ 2 } } { 2 },\frac { \sqrt{ 3 }+3 } { 2 } } \right )$ ， 直线 $CD$ 的斜率： $k_{ 1 } =\frac { 1+\sqrt{ 3 }-2 } { 0-\sqrt{ 2 } }=-\frac { \sqrt{ 3 }-1 } { \sqrt{ 2 } }$ ， 直线 $CD$ 的垂直平分线 $EF$ 斜率： $k_{ 2 } =\frac { \sqrt{ 2 } } { \sqrt{ 3 }-1 }=\frac { \sqrt{ 6 }+\sqrt{ 2 } } { 2 }$ ， ∴直线 $EF$ 的方程： $y-\frac { \sqrt{ 3 }+3 } { 2 }=\frac { \sqrt{ 6 }+\sqrt{ 2 } } { 2 }\left ( { x-\frac { \sqrt{ 2 } } { 2 } } \right )$ ， 即 $y=\frac { \sqrt{ 6 }+\sqrt{ 2 } } { 2 }\left ( { x-\frac { \sqrt{ 2 } } { 2 } } \right )+\frac { \sqrt{ 3 }+3 } { 2 }$ ， 当 $y=1$ 时， $1=\frac { \sqrt{ 6 }+\sqrt{ 2 } } { 2 }\left ( { x_{ O } -\frac { \sqrt{ 2 } } { 2 } } \right )+\frac { \sqrt{ 3 }+3 } { 2 }$ ，解得： $x_{ O } =0$ ， ∴ $O\left ( { 0,1 } \right )$ 在立体几何中， $O\left ( { 0,1,0 } \right )$ ， ∵ $\left | { OP } \right |=\sqrt{ 0 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +\left ( { 0-\sqrt{ 2 } } \right ) ^ { 2 } }\left | { OB } \right |=\sqrt{ \left ( { 0-\sqrt{ 2 } } \right ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }\left | { OC } \right |=\sqrt{ \left ( { 0-\sqrt{ 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1-2 } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }\left | { OD } \right |=\sqrt{ 0 ^ { 2 } +\left ( { 1-1-\sqrt{ 3 } } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }$ 解得： $\left | { OP } \right |=\left | { OB } \right |=\left | { OC } \right |=\left | { OD } \right |=\sqrt{ 3 }$ ， ∴点 $O$ 在平面 $ABCD$ 上. （ii） $\frac { \sqrt{ 2 } } { 3 }$ . 【分析】
（1）通过证明 $AP⊥AB$ ， $AP⊥AD$ ，得出 $AB⊥$ 平面 $PAD$ ，即可证明面面垂直；
（2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设 $P,B,C,D$ 在同一球面 $O$ 上，在平面 $xAy$ 中，得出点 $O$ 坐标，进而得出点 $O$ 在空间中的坐标，计算出 $\left | { OP } \right |=\left | { OB } \right |=\left | { OC } \right |=\left | { OD } \right |$ ，即可证明结论； （ii）写出直线 $AC$ 和 $PO$ 的方向向量，即可求出余弦值.
（1）略
（2）（i）略 （ii）由题意，（1）
（2）（ii）及图得， $\overset\rightarrow { AC }=\left ( { \sqrt{ 2 },2,0 } \right ),\overset\rightarrow { PO }=\left ( { 0,1,-\sqrt{ 2 } } \right )$ ， 设直线 $AC$ 与直线 $PO$ 所成角为 $θ$ ， ∴ $cosθ=\frac { \left | { \overset\rightarrow { AC }⋅\overset\rightarrow { PO } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { AC } } \right |\left | { \overset\rightarrow { PO } } \right | }=\frac { \left | { 0+2×1+0 } \right | } { \sqrt{ \left ( { \sqrt{ 2 } } \right ) ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +0 }×\sqrt{ 0+1 ^ { 2 } +\left ( { -\sqrt{ 2 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt{ 2 } } { 3 }$ . 法2： 由几何知识得，， $AB⊥AD$ ， $BC$ ∥ $AD$ ， ∴ $AB⊥BC$ ， 在Rt $\vartriangle ABC$ 中， $AB=\sqrt{ 2 }$ ， $BC=2$ ，由勾股定理得， $AC=\sqrt{ AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } }=\sqrt{ \left ( { \sqrt{ 2 } } \right ) ^ { 2 } +2 ^ { 2 } }=\sqrt{ 6 }$ ， 过点 $O$ 作 $AC$ 的平行线，交 $BC$ 的延长线为 $C_{ 1 }$ ，连接 $AC_{ 1 }$ ， $PC_{ 1 }$ ， 则 $OC_{ 1 } =AC=\sqrt{ 6 }$ ，直线 $AC$ 与直线 $PO$ 所成角即为 $△POC_{ 1 }$ 中 $∠POC_{ 1 }$ 或其补角. ∵ $PA⊥$ 平面 $ABCD$ ， $AC_{ 1 } ⊂$ 平面 $ABCD$ ， $PA\cap AC_{ 1 } =A$ ， ∴ $PA⊥AC_{ 1 }$ ， 在Rt $\vartriangle ABC_{ 1 }$ 中， $AB=\sqrt{ 2 }$ ， $BC_{ 1 } =BC+CC_{ 1 } =2+1=3$ ，由勾股定理得， $AC_{ 1 } =\sqrt{ AB ^ { 2 } +BC_{ 1 } ^{ 2 } }=\sqrt{ \left ( { \sqrt{ 2 } } \right ) ^ { 2 } +3 ^ { 2 } }=\sqrt{ 11 }$ ， 在Rt $\vartriangle APC_{ 1 }$ 中， $PA=\sqrt{ 2 }$ ，由勾股定理得， $PC_{ 1 } =\sqrt{ PA ^ { 2 } +AC_{ 1 } ^{ 2 } }=\sqrt{ \left ( { \sqrt{ 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \sqrt{ 11 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt{ 13 }$ ， 在 $△POC_{ 1 }$ 中，由余弦定理得， $PC_{ 1 } ^{ 2 }=PO ^ { 2 } +OC_{ 1 } ^{ 2 }-2PO⋅OC_{ 1 } cos∠POC_{ 1 }$ ， 即： $\left ( { \sqrt{ 13 } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \sqrt{ 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \sqrt{ 6 } } \right ) ^ { 2 } -2\sqrt{ 3 }×\sqrt{ 6 }cos∠POC_{ 1 }$ 解得： $cos∠POC_{ 1 } =-\frac { \sqrt{ 2 } } { 3 }$ ∴直线 $AC$ 与直线 $PO$ 所成角的余弦值为： $\left | { cos∠POC_{ 1 } } \right |=\frac { \sqrt{ 2 } } { 3 }$ .