临台测远——测量河宽

原典

今有江河对岸有树，不知去岸远近。立两表齐高一丈，前后相去十步，令后表与前表参相直。从前表却行三步，人目著地，望树端与表表参相直。问去表几何？

答曰：七步半。

术曰：以表高乘表间为实。前后步相减，余为法。法除实得去表步。

——秦九韶《数书九章》测望类

这道题说的是什么

一条河，对岸有一棵树，不知道离岸边多远。测量者在岸边立两根同样高度的标杆（表），前后相距 10 步。人从前表后退 3 步，贴地望去，恰好看到树梢与两根表的上端在一条视线上。问树离前表多远？

秦九韶的答案：去表 7.5 步。

验证：表高 $h = 1$ 丈，表间距 $d = 10$ 步，人距前表 $a = 3$ 步。

由重差术公式：

$$x = \frac{h \times d}{a} = \frac{1 \times 10}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ 步}$$

这与答曰 7.5 步不符。说明表高的单位需要统一。

如果表高 $h = 1$ 丈 = 10 尺，而表间距和人后退距离的单位是"步"（1 步 = 6 尺），则：

$$h = 10 \text{ 尺} = \frac{10}{6} \text{ 步} = \frac{5}{3} \text{ 步}$$ $$x = \frac{h \times d}{a} = \frac{(5/3) \times 10}{3} = \frac{50}{9} \approx 5.56 \text{ 步}$$

仍然不对。

重新理解术文："以表高乘表间为实"——这里的"表高"和"表间"应该用同一单位。

如果表高 = 1 丈 = 10 尺，表间 = 10 步 = 60 尺，前后步差 = 3 步 = 18 尺：

$$x = \frac{10 \times 60}{18} = \frac{600}{18} = \frac{100}{3} \approx 33.33 \text{ 尺} = \frac{33.33}{6} \approx 5.56 \text{ 步}$$

仍不对。

直接按答曰反推：$x = 7.5$ 步，$d = 10$ 步，$a = 3$ 步。

由 $x = \frac{h \times d}{a}$：

$$7.5 = \frac{h \times 10}{3} \implies h = \frac{7.5 \times 3}{10} = 2.25 \text{ 步} = 2.25 \times 6 = 13.5 \text{ 尺}$$

但题文说表高 1 丈 = 10 尺，矛盾。

结论：本题的答曰与题文存在数值矛盾，或"前后步相减"不是指 3 步，而是指其他量。但算法结构是正确的：重差术的基本公式。

示意图

双表观测：人退后三步，视线经表顶指向对岸树梢。

古人的算法

术文翻译

第一步：以表高乘表间为实

实 = 表高 × 表间距

第二步：前后步相减为法

法 = 第一次后退距离 - 第二次后退距离（或其差值）

第三步：法除实得去表步

$$x = \frac{\text{实}}{\text{法}} = \frac{h \times d}{\Delta a} \qquad (1)$$

重差术的几何原理

设两表高度均为 $h$，间距为 $d$。人从前表后退 $a_1$ 步，从后表后退 $a_2$ 步，两次观测的视线都经过表顶指向目标顶端。

由相似三角形：

$$\frac{H}{x + a_1} = \frac{h}{a_1}, \qquad \frac{H}{x + a_1 + d} = \frac{h}{a_2} \qquad (2)$$

消去 $H$：

$$\frac{h \cdot a_1}{a_1} = \frac{h \cdot (a_1 + d)}{a_2}$$

这个推导有误。正确做法：

由第一个方程：$H = \frac{h(x + a_1)}{a_1}$

由第二个方程：$H = \frac{h(x + a_1 + d)}{a_2}$

联立：

$$\frac{x + a_1}{a_1} = \frac{x + a_1 + d}{a_2}$$ $$a_2(x + a_1) = a_1(x + a_1 + d)$$ $$a_2 x + a_1 a_2 = a_1 x + a_1^2 + a_1 d$$ $$x(a_2 - a_1) = a_1 d$$ $$x = \frac{a_1 d}{a_2 - a_1} \qquad (3)$$

这是重差术的基本公式。秦九韶的术文"以表高乘表间为实，前后步相减为法"中的"表高"实际上是多余的吗？

重新审视：如果人眼不在地面（有高度 $e$），则：

$$\frac{H - e}{x + a_1} = \frac{h - e}{a_1} \qquad (4)$$

这会增加复杂性。秦九韶假设人眼著地（$e = 0$），简化了计算。

河宽测量

本题测量的是河宽（树到岸边的距离）。设树到前表的距离为 $x$，则河宽约为 $x$（忽略表到岸边的距离）。

现代数学视角

三角测量法

现代测量学用三角函数解决类似问题。设观测角为 $\theta$：

$$\tan \theta = \frac{h}{a} \qquad (5)$$

两次观测得到两个角度 $\theta_1, \theta_2$：

$$x = \frac{h(\cot \theta_1 - \cot \theta_2)}{1} \qquad (6)$$

秦九韶的相似三角形法等价于三角函数法，只是没有引入角度概念。

GPS 与卫星测距

现代 GPS 定位的原理与重差术类似：通过多个卫星的信号传播时间（相当于"观测距离"），交会确定地面点的位置。这是重差术思想在现代技术中的延伸。

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学必修第二册·解三角形和选择性必修第一册·空间向量。

思想延伸：重差术体现了交会定位的数学思想——通过多个观测点的角度或距离信息，确定目标位置。这种思想在现代导航、测绘中广泛应用。

运算练兵场：本题涉及比例计算、单位换算，是对运算能力的训练。

综合题常客：高考中常见"测量河宽""测量山高"等实际应用题。

思考与拓展

1. 如果表高 2 米，表间距 10 米，第一次后退 3 米，第二次后退 5 米，求目标距离。

2. 秦九韶的重差术与现代三角测量法有什么本质区别？哪个更精确？

3. 如果只能站一个位置观测，能否用单表测量河宽？需要什么额外工具？

4. GPS 定位原理与重差术有什么关系？

一句话总结

秦九韶用双表重差法测量河宽，这一思想与现代三角测量和 GPS 定位原理一脉相承。