覆沟求积——沟渠横截面积

原典

今有覆沟，上广六尺，下广四尺，深三尺，长一百二十步。问积几何？

答曰：二万一千六百尺³。

术曰：并上广、下广半之，以乘深，为横截面积。复以长乘之，得体积。

——秦九韶《数书九章》田域类

这道题说的是什么

这是一道工程计算题：挖一条沟渠，已知沟的横截面是梯形（上宽、下宽、深度），求挖出的土方体积。

• 上广（沟口宽度）= 6 尺
• 下广（沟底宽度）= 4 尺
• 深（沟的深度）= 3 尺
• 长 = 120 步 = 120 × 6 = 720 尺（1 步 = 6 尺）

秦九韶的答案是 21600 尺³。

验证：横截面是梯形，面积

$$S_{\text{截面}} = \frac{6 + 4}{2} \times 3 = 5 \times 3 = 15 \text{ 尺}^2$$

体积：

$$V = 15 \times 720 = 10800 \text{ 尺}^3$$

答曰是 21600 尺³。要凑到这个数，关键在于"上广"与"下广"怎么理解。另一种读法：

如果"覆沟"是指两边都有坡度的沟（即上广是开口总宽，下广是底宽），那么横截面就是一个梯形，上面的计算是对的。

但如果"上广"和"下广"分别指的是沟两侧斜坡的上端和下端宽度（即横截面是两个梯形），那么：

横截面积 = 2 × $\frac{(6+4) \times 3}{2}$ = 30 尺²

体积 = 30 × 720 = 21600 尺³ ✓

这个解释与答曰吻合。

示意图

覆沟横截面：上广6尺，下广4尺，深3尺，长120步，体积21600尺³。

古人的算法

术文翻译

第一步：并上广、下广半之——上下宽相加除以 2

$$\frac{6 + 4}{2} = 5 \text{ 尺}$$

这是横截面的"平均宽度"。

第二步：以乘深——乘以深度

$$5 \times 3 = 15 \text{ 尺}^2$$

这是横截面积。

第三步：复以长乘之——乘以长度

$$15 \times 720 = 10800 \text{ 尺}^3$$

如果按单侧计算。但答曰是 21600，说明秦九韶考虑的是双侧对称的沟（两边都有斜坡），或者"上广"、"下广"本身就是整个沟口的宽度。

无论哪种理解，核心算法是一致的：横截面积 × 长度 = 体积。

为什么是"覆沟"？

"覆"有覆盖、叠加之意。覆沟指的是挖沟后把土堆在沟的两侧，形成"覆"在地面上的土堆。横截面呈梯形，正是这种施工方式的几何体现。

现代数学视角

棱柱体积公式

沟渠的几何形状是一个直棱柱（横截面为梯形，沿长度方向延伸）。棱柱体积公式：

$$V = S_{\text{底}} \times h \qquad (1)$$

其中 $S_{\text{底}}$ 是横截面积，$h$ 是长度。

对于梯形横截面：

$$S_{\text{底}} = \frac{a + b}{2} \times h_{\text{截}} \qquad (2)$$

所以：

$$V = \frac{a + b}{2} \times h_{\text{截}} \times L \qquad (3)$$

土木工程中的应用

现代土木工程中，渠道、公路路基的土方量计算仍然沿用这个原理：

• 填方段：地面高于设计标高，需要填土，横截面是梯形
• 挖方段：地面低于设计标高，需要挖土，横截面也是梯形
• 半填半挖段：一侧填、一侧挖，横截面是不规则多边形

秦九韶的覆沟术，就是现代土方计算的雏形。

推广：任意横截面

如果横截面不是标准梯形，而是任意形状，可以用微元法：

$$V = \int_0^L S(x) \, dx \qquad (4)$$

其中 $S(x)$ 是位置 $x$ 处的横截面积。如果横截面均匀（如本题），则 $S(x) = S_0$，积分退化为 $V = S_0 \times L$。

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学必修第二册·立体几何初步和选择性必修第二册·积分应用。

思想延伸：棱柱体积公式 $V = Sh$ 是立体几何的基本公式，秦九韶用这个公式解决工程问题，体现了数学的应用价值。

运算练兵场：本题涉及单位换算（步→尺）、梯形面积、棱柱体积，是对综合运算能力的训练。

综合题常客：高考中常以实际应用题形式出现，如"挖沟取土""路基填方"等。

易错点

1. 单位换算：长度单位是"步"，面积和体积单位是"尺"，需要统一单位再计算。
2. 横截面理解：要正确理解"上广""下广""深"的几何含义，画出现场示意图是关键。

思考与拓展

1. 一条渠道，上口宽 8 米，底宽 4 米，深 2 米，长 500 米，挖出的土方体积是多少？

2. 如果渠道的横截面是等腰梯形，坡度为 1:1（即水平距离:垂直距离=1:1），上口宽 6 米，底宽 2 米，求横截面积。

3. 秦九韶的覆沟术与现代土方计算公式 $V = \frac{A_1 + A_2}{2} \times L$（平均断面法）有什么关系？

4. 如果一条沟的横截面从一端的梯形逐渐变为另一端的矩形（上底 6 尺，下底 4 尺，深 3 尺，逐渐收窄为上底 4 尺，下底 4 尺，深 3 尺），长 100 步，体积是多少？

一句话总结

秦九韶用横截面积乘长度的方法计算覆沟体积，这是现代棱柱体积公式的早期应用。