数书九章 · 第 2 讲 · 2026-10-25" · 约 12 分钟

三斜求积术——秦九韶的海伦公式

秦九韶给出已知三角形三边求面积的方法：三斜求积术。这正是西方数学中的海伦公式，但秦九韶的表达更对称、更优雅。

原典

$三斜面积公式：秦九韶利用三边直接求面积，\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)^2\right]}$

三斜面积公式：秦九韶利用三边直接求面积，$\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)^2\right]}$

问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几何？

答曰：田积三百一十五顷。

术曰：以少广求之。以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之。自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上；余四约之为实。以为从平方开之，得积。

——秦九韶《数书九章》田域类

有一块三角形沙田，三边长分别为 13 里、14 里、15 里。问这块田的面积是多少？

秦九韶的术文翻译成现代数学语言：

设三角形三边为 $a$ （小斜）、 $b$ （中斜）、 $c$ （大斜），则面积 $S$ 满足：

S = \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} \right)^2 \right]}

验证（ $a=13, b=14, c=15$ ）：

\begin{aligned} \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} &= \frac{169 + 225 - 196}{2} = \frac{198}{2} = 99 \\ a^2 c^2 &= 169 \times 225 = 38025 \\ \frac{1}{4}(38025 - 99^2) &= \frac{1}{4}(38025 - 9801) = \frac{1}{4} \times 28224 = 7056 \\ \sqrt{7056} &= 84 \end{aligned}

面积 = 84 平方里 = $84 \times 300^2$ 平方步 = 7,560,000 平方步。

换算成顷（1 顷 = 24000 平方步）： $7560000 \div 2400 = 3150$ 顷。

先核算单位。13 里 × 300 步/里 = 3900 步，是边长换算。三角形面积则为：

S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}

用海伦公式验证： $p = \frac{13+14+15}{2} = 21$ ， $S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$ 平方里。

84 平方里 = $84 \times (300)^2$ 平方步 = $84 \times 90000 = 7,560,000$ 平方步。

1 顷 = 24000 平方步（古制），所以 $7560000 \div 24000 = 315$ 顷。✓

海伦公式（约公元 1 世纪，海伦）：

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

其中 $p = \frac{a+b+c}{2}$ 。

展开后：

16S^2 = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

秦九韶公式：

4S^2 = a^2c^2 - \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2

展开右边：

a^2c^2 - \frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4} = \frac{4a^2c^2 - (a^4+c^4+b^4-2a^2c^2-2b^2a^2-2b^2c^2)}{4}

= \frac{2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4}{4}

这与海伦公式的展开式完全一致！

秦九韶的公式有一个独特优势：对称美。

公式 $4S^2 = a^2c^2 - \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2$ 中， $a$ 和 $c$ 地位对等，而 $b$ 特殊。这恰好对应了「小斜、中斜、大斜」的排序，使计算更直观。

思想延伸：三斜求积术体现了代数方法解决几何问题的思想——用边长表示面积，无需作高。

运算练兵场：本题涉及多项式展开、因式分解、开方运算，是对运算能力的综合训练。

综合题常客：三角形面积公式在高考解三角形中常考，秦九韶公式是数学文化题的热门素材。

秦九韶的三斜求积术与海伦公式等价，但表达更对称——这是中国数学「以形驭数」智慧的体现。

— Y. · 2026-10-25"