第1讲 大衍求一术——中国剩余定理

原典

今有数，以五累减之，余二；以七累减之，余三；以九累减之，余四。问数几何？

答曰：一百五十七。

术曰：以五、七、九相乘得三百十五为术。以五除三百十五得六十三，以七除三百十五得四十五，以九除三十五得三十五，皆为定率。乃以六十三求乘率于五，五乘一退位，六十三除之，余三，三逢五减之余二，即乘率为二。亦以四十五求乘率于七，七乘一退位，四十五除之，余三，三逢七减之余一，即乘率为五。又以三十五求乘率于九，九乘一退位，三十五除之，余八，八逢九减之余八，即乘率为八。遂以乘率乘定率，合得答数。以三百十五去之，余一百五十七。

——秦九韶《数书九章》大衍类第一题

这段话说的是什么

有一堆东西，不知道总数。如果每次都拿走5个，最后剩2个；每次都拿走7个，最后剩3个；每次都拿走9个，最后剩4个。问总数是多少？

这其实就是解同余方程组：

秦九韶的贡献在于：他把《孙子算经》「物不知数」的特殊解法，推广成了一套机械化的算法——不管题目怎么变，只要模数两两互素，按流程走就能算出来。这套算法叫「大衍求一术」。

示意图

以5余2、以7余3、以9余4，总数157。三个余数对应三个不同周期的剩余位置。

大衍求一术的步骤

秦九韶的方法分三步：

第一步：算「定率」——把三个模数相乘得到「术数」，再分别除以每个模数。

$5 \times 7 \times 9 = 315$

$\text{定率}_1 = \frac{315}{5} = 63, \quad \text{定率}_2 = \frac{315}{7} = 45, \quad \text{定率}_3 = \frac{315}{9} = 35$

第二步：求「乘率」——找每个定率关于对应模数的逆元。

• $63 \bmod 5 = 3$，要找 $k$ 使得 $3k \equiv 1 \pmod{5}$，得 $k = 2$
• $45 \bmod 7 = 3$，要找 $k$ 使得 $3k \equiv 1 \pmod{7}$，得 $k = 5$
• $35 \bmod 9 = 8$，要找 $k$ 使得 $8k \equiv 1 \pmod{9}$，得 $k = 8$

秦九韶把这个求逆元的过程叫「求一」——名字来源于「得一则反」的思想：找到那个让余数「归一」的乘数。

第三步：合数取模

$x = 2 \times 63 \times 2 + 3 \times 45 \times 5 + 4 \times 35 \times 8 = 252 + 675 + 1120 = 2047$

$2047 \bmod 315 = 157$

验证：

• $157 = 31 \times 5 + 2$ ✓
• $157 = 22 \times 7 + 3$ ✓
• $157 = 17 \times 9 + 4$ ✓

现代数学视角

在现代数论中，这就是中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）：若 $m_1, m_2, \dots, m_k$ 两两互素，则同余方程组

$x \equiv a_i \pmod{m_i} \quad (i = 1, 2, \dots, k)$

在模 $M = m_1 m_2 \cdots m_k$ 下有唯一解。

秦九韶的「求一术」本质上就是在模 $m_i$ 下求 $M/m_i$ 的乘法逆元。他用的是辗转相除法的变体，比西方高斯（Gauss）早了五百多年。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：大衍求一术体现了「分解再重组」的数学思想——把一个复杂问题拆成互不干扰的子问题，分别解决后再合并。这在算法设计、信号处理中都有直接应用。

运算练兵场：本题涉及带余除法、模运算、线性不定方程，是对运算能力的综合训练。

综合题常客：中国剩余定理在高考中常以数学文化题或算法框图题的形式出现（如2017年全国卷算法题），在高中数学选修4-6《不等式选讲》和选修4-2《框图》中都有涉及。

思考与拓展

1. 如果题目改为「以六累减之余四，以八累减之余二，以十累减之余六」，能否直接用大衍求一术？如果不能，需要怎么做？

2. 《孙子算经》「物不知数」三三数之余二、五五数之余三、七七数之余二，用大衍求一术算出来是多少？

3. 秦九韶的时代没有「同余」这个概念，他是怎么想到「求一」这个步骤的？查阅《数书九章》序言，他提到了哪些灵感来源？

一句话总结

秦九韶把「物不知数」的特例推广为「大衍求一术」，让任意同余方程组都能按程序求解——这是中国数学对世界数论最深刻的贡献。