几何分布的无记忆性——为什么『等公交』不讲道理

一个让人抓狂的直觉

你在等公交车。已经等了 10 分钟，车还没来。直觉告诉你："都等这么久了，应该快来了吧？"

数学冷冷地回答：不会。 如果到站间隔服从几何（或指数）分布，那么"已经等了 10 分钟"这件事，对未来还要等多久毫无影响。

这就是无记忆性。

几何分布回顾

独立重复伯努利试验，每次成功概率 $p$。设 $X$ 为"第一次成功所发生的试验次数"，则

$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,3,\ldots$

$X$ 服从几何分布，记作 $X\sim Ge(p)$。

它描述的就是"等待第一次成功"——抽奖、等缺陷、等回复，本质都是它。

无记忆性的精确表述

对任意非负整数 $s,t$，有

$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$

意思是：已知已经失败了 $s$ 次（前 $s$ 次都没成功），接下来再等 $t$ 次才成功的概率，和"从零开始等 $t$ 次才成功"一模一样。

证明（用条件概率定义）：

左边

$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}$

而 $P(X>s)=$ 前 $s$ 次全失败 $=(1-p)^s$，同理 $P(X>s+t)=(1-p)^{s+t}$。代入：

$\frac{(1-p)^{s+t}}{(1-p)^s}=(1-p)^t=P(X>t)$

得证。注意证明里 $s$ 被约掉了——这正是"过去的等待白等了"的数学表达。

为什么反直觉却重要

人脑总觉得"概率会补偿"（赌徒谬误）。但独立试验不记仇：机器不会因为你等得久就"补偿"你一次成功。

连续情形的对应物是指数分布，它同样满足无记忆性，是排队论、可靠性工程的基础。

小结与思考

• 几何分布是离散情形中唯一具有无记忆性的分布。
• "已经等了很久"≠"快成功了"，对独立随机过程这句话是错的数学直觉。

思考题：抽奖箱中中奖率 $p=0.01$，你已经抽了 50 次都没中，第 51 次抽中的概率是多少？它和第一次抽中的概率一样吗？