泊松分布从哪来——二项分布的极限

一个让人不安的问题

工厂每天生产上万件产品，次品率只有 $0.1\%$。问：某天恰好出 $k$ 件次品的概率？

这种"大量试验中罕见事件出现的次数"，用二项分布硬算：

$P(X=k)=\mathrm{C}_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$

这里 $n$ 上万、$p$ 极小，直接算组合数会溢出，而且每次 $p$ 一变公式就全变——能不能有一个只依赖一个参数的分布来近似它？

有。这就是泊松分布。本讲回答：它到底从哪来。

把二项分布推向极限

设 $n\to\infty$、$p\to 0$，但要求"平均次数" $\lambda=np$ 保持固定。也就是 $p=\dfrac{\lambda}{n}$。

把这个代回二项分布：

$P(X=k)=\mathrm{C}_n^k\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$

分三块看极限。

第一块，组合数：

$\mathrm{C}_n^k=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{n^k}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\;\xrightarrow{n\to\infty}\;\frac{n^k}{k!}$

第二块，$\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k$：

$\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k=\frac{\lambda^k}{n^k}$

第三块，$\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$： 用高中就学过的极限 $\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\to e^x$，

$\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\;\xrightarrow{n\to\infty}\;e^{-\lambda}\cdot 1 = e^{-\lambda}$

三块相乘，$\dfrac{n^k}{k!}\cdot\dfrac{\lambda^k}{n^k}\cdot e^{-\lambda}$，恰好得到：

$\boxed{P(X=k)\;\approx\;\frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}},\qquad k=0,1,2,\ldots$

这就是泊松分布 $X\sim P(\lambda)$。

一个好记的直觉

注意 $\dfrac{\lambda^k}{k!}$ 正是 $e^\lambda$ 的泰勒展开的第 $k$ 项。所以泊松分布的概率，本质是"把 $e^\lambda$ 按 $k$ 切片再归一化"——所有概率加起来正好是 $e^\lambda\cdot e^{-\lambda}=1$。

什么时候用泊松近似二项

经验法则：当 $n\ge 20$ 且 $p\le 0.05$（或 $n$ 很大、$np$ 适中，比如 $np\le 10$）时，用泊松近似二项分布误差很小。

典型场景：单位时间内客服接到的投诉数、某路口发生的事故数、放射性衰变计数——都是"大 $n$、小 $p$、固定均值 $\lambda$"。

小结与思考

• 泊松不是凭空定义的，它是二项分布在大 $n$ 小 $p$ 下的极限形态。
• 关键桥梁：高中就学过的极限 $\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\to e^x$ 和二项式定理。

思考题：若 $X\sim B(1000,0.003)$，用泊松近似求 $P(X=2)$ 的近似值（取 $\lambda=3$，$e^{-3}\approx0.0498$）。