随机与概率——不确定的世界里有规律吗

从一个最朴素的问题开始

抛一枚硬币，正面朝上还是反面朝上？

你可能会说：「不一定，可能正面也可能反面，各占一半吧。」

但如果我再问你：抛 10000 次硬币，大约有多少次正面朝上？

你大概会回答：「大约 5000 次。」

这两句话放在一起，就出现了一件很奇妙的事情：一次抛硬币是完全不确定的，但抛很多次就有了稳定的规律。

这就是概率研究的对象——从随机现象中寻找规律性。

什么是随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事情，叫做随机事件。

• 抛一枚硬币，正面朝上 —— 随机事件
• 掷一枚骰子，出现 6 点 —— 随机事件
• 明天会下雨 —— 随机事件
• 从一副牌里抽到红桃 A —— 随机事件

和随机事件相对的，有两种确定的事件：

• 必然事件：在一定条件下一定发生的。比如「掷一枚骰子，出现的点数小于 7」
• 不可能事件：在一定条件下一定不发生的。比如「掷一枚骰子，出现 7 点」

概率就是用来度量随机事件发生的可能性大小的数值。我们用 $P(A)$ 表示事件 $A$ 发生的概率。

示意图

概率的三种定义方式

人类认识概率，经历了三个阶段，也对应了三种定义方式。

第一种：古典概型

最直观的一种：如果所有可能的结果是有限个，而且每个结果发生的可能性相等，那么事件 A 的概率就是 A 包含的结果数除以总结果数。

$$P(A) = \dfrac{\text{事件 A 包含的基本事件数}}{\text{总的基本事件数}}$$

比如掷一枚均匀的骰子，总共有 6 种可能（1 到 6 点），每种可能相等。那么「出现偶数点」这个事件包含 3 种结果（2、4、6），概率就是 $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$。

古典概型很简单，但它有两个严格的前提：有限性和等可能性。不满足这两个条件，就不能直接用。

第二种：频率定义

如果不满足「等可能性」怎么办？比如「明天会不会下雨」，我们没法说「下雨和不下雨各占一半」。

这时候就用频率来估计概率：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率。

这就是我们开头说的——抛 10000 次硬币，正面大约 5000 次，频率接近 0.5，所以概率是 0.5。

频率定义的好处是适用范围广，几乎所有随机事件都可以用。但它也有缺点：需要大量重复试验，而且得到的是近似值，不是精确值。

第三种：公理化定义

这是数学上最严谨的定义——前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在 1933 年建立了概率的公理体系，用集合论和测度论严格定义了概率是什么。

简单来说，概率满足三条公理：

1. 非负性：任何事件的概率都大于等于 0
2. 规范性：必然事件的概率等于 1
3. 可加性：如果两个事件互斥（不能同时发生），那么至少一个发生的概率等于各自概率之和

从这三条公理出发，可以推导出概率的所有性质。高中阶段我们不需要深入到这个层面，知道有这么回事就行了。

概率的基本性质

从公理出发，可以推出一些常用的性质：

• $0 \le P(A) \le 1$——概率永远在 0 到 1 之间
• 不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1
• 对立事件：如果 $\bar{A}$ 表示「A 不发生」，那么 $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
• 加法公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

注意最后这个公式——如果 A 和 B 可以同时发生，直接相加就会把「同时发生」的部分算了两次，所以要减去一次。

在高中数学体系里的位置

概率统计在高中数学里是一个比较特殊的板块——它研究的是「不确定」的现象，而不是「确定」的规律。

思维方式的转变：学函数、学几何，我们追求的是「精确」和「确定」；但学概率，我们要学会和「不确定性」共处，用统计的眼光看世界。这种思维方式的转变，有时候比具体的知识点更重要。

和其他知识的联系：概率看起来独立，但其实和很多内容都有关——和数列有关（递推概率）、和排列组合有关（古典概型的计算）、和函数有关（概率的最值问题）、和统计有关（用样本估计总体）。

高考地位：概率统计是高考必考内容，通常有一道选择题或填空题（5 分）和一道解答题（12 分），总分值在 17 分左右。难度中等，是「应该稳稳拿分」的板块。但近年来概率统计题的阅读量越来越大，越来越贴近实际应用，对理解题意的要求提高了。

现实意义：概率统计可能是高中数学里最有用的内容之一。理解了概率，你就能看懂天气预报、理解保险的原理、识别统计陷阱、甚至在游戏里做出更好的决策。在大数据时代，概率思维是一种基本素养。

这个专题怎么学

在这个专题里，我们会沿着「从基础到应用」的线索走：

1. 先建立概率的基本概念——什么是随机、什么是概率、概率有什么性质
2. 再学古典概型和几何概型——两种最基本的概率模型
3. 然后学条件概率与独立性——概率中最核心的概念之一
4. 接着学随机变量与分布列——把概率问题系统化
5. 最后学统计——从数据中提取信息，用样本估计总体

概率统计的特点是概念多、公式多、但计算不复杂。关键是理解每个概念的含义，而不是死记硬背公式。

思考与拓展

1. 「概率为 0 的事件一定是不可能事件吗？概率为 1 的事件一定是必然事件吗？」（提示：想想几何概型）
2. 抛两枚硬币，「至少有一枚正面朝上」的概率是多少？用两种方法计算。
3. 天气预报说「明天降水概率 70%」，这句话到底是什么意思？你能用自己的话解释一下吗？
4. 你能举出生活中 3 个用概率思维做决策的例子吗？

高考母题

（2024·北京） 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 $800$ $100$ $60$ $30$ $10$ 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记 $X$ 为一份保单的毛利润，估计 $X$ 的数学期望 $E\left ( { X } \right )$ ； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 $4\%$ ，有索赔的保单的保费增加 $20\%$ ，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中 $E\left ( { X } \right )$ 估计值的大小．（结论不要求证明）

展开详解

(1) $\frac { 1 } { 10 }$
(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中 $E\left ( { X } \right )$ 估计值 【分析】
（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;
（2）（ⅰ）设 $ξ$ 为赔付金额，则 $ξ$ 可取 $0,0.8,1.6,2.4,3$ ，用频率估计概率后可求 $ξ$ 的分布列及数学期望，从而可求 $E\left ( { X } \right )$ . （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求 $E\left ( { Y } \right )$ ，从而即可比较大小得解.
（1）设 $A$ 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得 $P\left ( { A } \right )=\frac { 60+30+10 } { 800+100+60+30+10 }=\frac { 1 } { 10 }$ .
（2）（ⅰ）设 $ξ$ 为赔付金额，则 $ξ$ 可取 $0,0.8,1.6,2.4,3$ ， 由题设中的统计数据可得 $P\left ( { ξ=0 } \right )=\frac { 800 } { 1000 }=\frac { 4 } { 5 },P\left ( { ξ=0.8 } \right )=\frac { 100 } { 1000 }=\frac { 1 } { 10 }$ ， $P(ξ=1.6)=\frac { 60 } { 1000 }=\frac { 3 } { 50 }$ ， $P(ξ=2.4)=\frac { 30 } { 1000 }=\frac { 3 } { 100 }$ ， $P(ξ=3)=\frac { 10 } { 1000 }=\frac { 1 } { 100 }$ ， 故 $E\left ( { ξ } \right )=0×\frac { 4 } { 5 }+0.8×\frac { 1 } { 10 }+1.6×\frac { 3 } { 50 }+2.4×\frac { 3 } { 100 }+3×\frac { 1 } { 100 }=0.278$ 故 $E\left ( { X } \right )=0.4-0.278=0.122$ （万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为 $0.4×\frac { 4 } { 5 }×96\%+0.4×\frac { 1 } { 5 }×1.2=0.4032$ ， 故 $E\left ( { Y } \right )=0.122+0.4032-0.4=0.1252$ （万元）， 从而 $E\left ( { X } \right ) < E\left ( { Y } \right )$ .

一句话总结

概率是随机现象中的规律性——单个事件不确定，但大量重复就有稳定的频率，这个稳定值就是概率。