第2讲 古典概型——数一数就能算的概率

从掷骰子说起

掷一枚均匀的骰子，出现 6 点的概率是多少？

你大概会脱口而出：$\dfrac{1}{6}$。

为什么是 $\dfrac{1}{6}$？因为骰子有 6 个面，每个面出现的可能性相等，6 点是其中一个面，所以概率是 $\dfrac{1}{6}$。

这个推理过程，就是古典概型的思路。

什么是古典概型

满足两个条件的概率模型，叫做古典概型：

1. 有限性：所有可能的基本事件是有限个
2. 等可能性：每个基本事件发生的可能性相等

在古典概型中，事件 $A$ 的概率就是一个简单的除法：

$$P(A) = \dfrac{\text{事件 A 包含的基本事件数}}{\text{总的基本事件数}} = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$$

其中 $\Omega$ 表示所有基本事件构成的集合（叫做样本空间），$n(A)$ 表示集合 $A$ 中元素的个数。

听起来很简单对吧？但真正的难点在于：怎么数？

示意图

计数的基本原理

数清楚基本事件的个数，是古典概型的核心。这里有两个最基本的计数原理。

加法原理（分类）

完成一件事，有 $k$ 类不同的方法，第 $i$ 类有 $m_i$ 种方法，那么总共有：

$$m_1 + m_2 + \cdots + m_k$$

种不同的方法。

简单说就是：分类相加。

比如从北京到上海，可以坐飞机、坐高铁、坐汽车。飞机有 3 班，高铁有 5 班，汽车有 2 班，那么总共有 $3+5+2=10$ 种不同的走法。

乘法原理（分步）

完成一件事，需要分 $k$ 个步骤，第 $i$ 步有 $m_i$ 种方法，那么总共有：

$$m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_k$$

种不同的方法。

简单说就是：分步相乘。

比如从北京到上海再到广州，北京到上海有 5 趟高铁，上海到广州有 4 趟高铁，那么总共有 $5 \times 4 = 20$ 种不同的走法。

什么时候用加法、什么时候用乘法？关键看是「分类」还是「分步」。 分类的话，每一类都能独立完成整件事；分步的话，每一步都只是整件事的一部分，缺一步都不行。

排列与组合

有了加法原理和乘法原理，就可以推导出排列和组合的公式了。

排列

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，按一定顺序排成一列，叫做从 $n$ 个元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。排列数记为 $\mathrm{A}_n^m$（或 $P_n^m$）。

$$\mathrm{A}_n^m = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!}$$

其中 $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$，叫做 $n$ 的阶乘。规定 $0! = 1$。

排列和顺序有关。 比如从 5 个人中选 3 个人排成一排，不同的顺序算不同的排列。

组合

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，不管顺序地合成一组，叫做从 $n$ 个元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。组合数记为 $\mathrm{C}_n^m$（或 $\dbinom{n}{m}$）。

$$\mathrm{C}_n^m = \dfrac{\mathrm{A}_n^m}{m!} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}$$

组合和顺序无关。 比如从 5 个人中选 3 个人组成一个小组，谁先谁后不影响，所以是组合问题。

组合数有两个重要性质：

• $\mathrm{C}_n^m = \mathrm{C}_n^{n-m}$——选 $m$ 个和选剩下的 $n-m$ 个是一回事
• $\mathrm{C}_n^m + \mathrm{C}_n^{m-1} = \mathrm{C}_{n+1}^m$——帕斯卡法则

常见的古典概型问题

掌握了计数工具，我们来看几个典型的古典概型问题。

摸球问题

一个袋子里有 3 个红球、2 个白球，从中摸出 2 个球，求： （1）两个都是红球的概率 （2）一红一白的概率

总共有 5 个球，摸 2 个，总的基本事件数是 $\mathrm{C}_5^2 = 10$。

（1）两个都是红球：从 3 个红球中选 2 个，$\mathrm{C}_3^2 = 3$。概率为 $\dfrac{3}{10}$。

（2）一红一白：从 3 个红球选 1 个，从 2 个白球选 1 个，$\mathrm{C}_3^1 \times \mathrm{C}_2^1 = 6$。概率为 $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$。

掷骰子问题

掷两枚骰子，求点数之和为 7 的概率。

注意：两枚骰子是可以区分的（比如第一枚和第二枚），所以总共有 $6 \times 6 = 36$ 种等可能的结果。

点数之和为 7 的情况有：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)，共 6 种。

所以概率为 $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$。

这里有一个容易犯的错误：认为「点数之和为 2 到 12，共 11 种情况，所以概率是 $\dfrac{1}{11}$」。错在哪里？——因为这 11 种情况不是等可能的。点数和为 2 只有 (1,1) 一种，而点数和为 7 有 6 种，可能性不一样，所以不能直接用古典概型。

判断「等可能性」是古典概型最关键的一步。

生日问题

一个班级有 50 个同学，至少有两个人同一天生日的概率有多大？

这个问题反过来想比较简单：先算「所有人的生日都不同」的概率，再用 1 减去它。

假设一年 365 天，每个人的生日在任意一天是等可能的。

• 第一个人的生日：随便哪一天，365 种选择
• 第二个人的生日：不能和第一个人一样，364 种选择
• 第三个人的生日：不能和前两个人一样，363 种选择
• ……
• 第 50 个人的生日：不能和前面 49 个人一样，316 种选择

所以「所有人都不同日」的概率是：

$$P = \dfrac{365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times 316}{365^{50}}$$

算出来大约是 0.03。也就是说，50 个人的班级里，至少两个人同一天生日的概率高达 97%！

这个结果和很多人的直觉不一样——50 个人、365 天，怎么会有这么高的概率？这就是著名的「生日悖论」。它告诉我们：概率有时候是反直觉的，必须用计算说话。

在高中数学体系里的位置

古典概型是整个概率统计的基础——后面学的条件概率、随机变量、统计推断，都建立在这个基础之上。

和排列组合的关系：古典概型的计算离不开排列组合，但高考中概率题的计算量通常不大，重点在于理解题意、正确分类分步，而不是复杂的排列组合技巧。

易错点：最容易错的不是计算，而是「数错了」——要么漏掉了某些情况，要么重复计算了，要么错误地假设了等可能性。做概率题一定要想清楚：样本空间是什么？每个基本事件是不是等可能的？

高考地位：古典概型是高考概率题的常客，选择题和解答题都可能考。解答题通常以实际问题为背景，需要你先把实际问题转化为概率模型，再进行计算。

思考与拓展

1. 从 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数中任取 2 个数，它们的和为偶数的概率是多少？
2. 一副扑克牌（52 张，去掉大小王），从中抽 2 张，都是红心的概率是多少？一红一黑的概率是多少？
3. 掷三枚硬币，至少有一枚正面朝上的概率是多少？（用两种方法计算）
4. 「生日悖论」中，如果班级只有 23 个人，至少两人同日生的概率大约是多少？为什么这个数字会让很多人意外？

一句话总结

古典概型 = 「数清楚」÷「数清楚」，关键是确保每一种基本事件真的是等可能的。