少广·第9题：田广再加十分之一，求从几何

原文

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问：从几何？

答曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。

术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

白话翻译

现在有一块田，宽为一步半，再加三分之一到十分之一的分步，要凑成一亩，问从是多少？

答案是 81 步又七千三百八十一分之六千九百三十九步。

术文的意思是，分母有 10，就把 1 步当作 2520，半步当作 1260，三分之一当作 840，四分之一当作 630，五分之一当作 504，六分之一当作 420，七分之一当作 360，八分之一当作 315，九分之一当作 280，十分之一当作 252，相加得 7381 作为法。240 步乘以 2520 得 604800 作为实。实除以法，得到从。

示意图

图注：少广章第9题：少广术示意图

数学解读

一、通分倍数一个数没变

上一讲（分母到 9）的通分倍数是 2520。这一讲加进 10，通分倍数还是 2520。

原因只有一句话，$10 = 2 \times 5$，它的质因子 2 和 5 在 2520 里早就各就各位了，一个都不用补。

$2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$

这是整章里唯一一次「分母加了一个，倍数完全不动」的情况。理解这一点，才算真正掌握了最小公倍数的判定。

二、分子多了一项，法从 7129 涨到 7381

$\frac{604800}{7381} = 81\frac{6939}{7381}$

法只涨了 252，因为新加的那一项分子就是 252。相比上一讲法从 2283 跳到 7129，这一讲的涨幅小得多。

分母加得越靠后，对法的贡献往往越小，前提是它的质因子已经被覆盖。

三、7381 的结构

7381 是合数，$7381 = 11^2 \cdot 61 = 121 \times 61$。

有意思的是，11 这个质数要到下一讲才作为分母出现，这里却先在法的分解里冒了头。这说明「质因子」的来源与题目里列出的分母没有直接对应关系。

四、这一讲的真正价值

它是一处反例，专门用来打破「分母越大、通分倍数越大」的直觉。往后读者自己估算法的大小时，先看质因子，再看分母大小。

只看分母数字是初学者的习惯，看质因子才是内行的做法。

高中课本关联

知识点定位：

• 初中数学：最小公倍数（质因子最高次幂的判定）
• 初中数学：$10 = 2 \times 5$ 的质因数分解
• 人教A版必修第一册：指数与幂运算

高考考法：

「分母加了但最小公倍数不变」是数列与数论题的常见陷阱。判断口径与本题一致，看新分母的质因子是否已被覆盖。

易错点： 认为加进 10 就要把 2520 乘 10。10 不引入新质因子，倍数不动。

思考与拓展

1. 基础

若分母加到 12，通分倍数会变吗？

答：不变。$12 = 2^2 \cdot 3$，2 与 3 都已在 2520 里且指数足够，故仍是 2520。

2. 进阶

法从 7129 涨到 7381，涨了 252，正好等于十分之一的分子。这是巧合吗？

答：不是巧合。新加一项的分子就是通分倍数除以新分母，$2520 \div 10 = 252$，法的增量必然等于它。

3. 拓展

找出 1 到 30 中所有「加进去后最小公倍数不变」的整数，并说明判据。

答：在 2520 的倍数体系中，凡质因子已被覆盖者均不变，如 10、12、14、15、18、20、21、24、28、30 等。判据是分解后每个质因子的指数不超过已有最高次幂。

一句话总结

十等于二乘五，质因子早被覆盖，通分倍数一个没动；分母变大不等于倍数变大，要看质因子。