术名：粟米·第43题——一石二钧丝，贵贱各几两？

原典

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两率之，问：各几何？

答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱。其一钧一十斤五两四铢，两五钱。

术曰（其率术）：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法贱实贵。

白话翻译

现在有人出一万三千九百七十钱，买了一石二钧二十八斤三两五铢的丝。想要按照"贵"和"贱"两种价格，以两为单位来分配，问：贵丝和贱丝各有多重？

答：其中一部分重一石一钧一十七斤一十四两一铢，每两值四钱；另一部分重一钧一十斤五两四铢，每两值五钱。

示意图

数学解读

总量换算：从复合单位到两

古代衡制关系：

$$1\text{石} = 4\text{钧},\quad 1\text{钧} = 30\text{斤},\quad 1\text{斤} = 16\text{两},\quad 1\text{两} = 24\text{铢}$$

所以：

$$1\text{石} = 1920\text{两},\quad 1\text{钧} = 480\text{两},\quad 1\text{斤} = 16\text{两}$$

总重量"一石二钧二十八斤三两五铢"换算为两：

$$1920 + 2 \times 480 + 28 \times 16 + 3 + \frac{5}{24}$$ $$= 1920 + 960 + 448 + 3 + \frac{5}{24}$$ $$= 3331\frac{5}{24}\text{两} = \frac{79949}{24}\text{两}$$

为什么要统一到"两"？因为本题要求"以两率之"——即以两为计价单位。粟米章的其率术系列（第42至45题）共用同一组总价和总重，但分别以斤、两、铢、翭为单位计价，得到不同的贵贱分配。选择哪个单位做"法"，决定了均价落在哪两个整数之间。

其率术定两价：4与5之间

均价为：

$$\frac{13970}{\frac{79949}{24}} = \frac{13970 \times 24}{79949} = \frac{335280}{79949} \approx 4.19\text{钱/两}$$

均价介于4钱与5钱之间，故贱价定为4钱/两，高价定为5钱/两。这就是术文所说的"法贱实贵"——"法"（商，即均价取整的整数部分4）对应贱价，"实"（余数对应的量）对应贵价。

设每两4钱的丝重 $x$ 两，每两5钱的丝重 $y$ 两，列方程组：

$$\begin{cases} x + y = \dfrac{79949}{24} \\[6pt] 4x + 5y = 13970 \end{cases} \qquad (1)$$

由第一式得 $x = \dfrac{79949}{24} - y$，代入第二式：

$$4\left(\frac{79949}{24} - y\right) + 5y = 13970$$ $$\frac{319796}{24} + y = 13970$$ $$y = 13970 - \frac{319796}{24} = \frac{335280 - 319796}{24} = \frac{15484}{24} = \frac{3871}{6}$$ $$y = 645\frac{1}{6}\text{两}\text{（贵，5钱）}$$

换算为复合单位：

$$645\text{两} = 40\text{斤} + 5\text{两} = 1\text{钧}10\text{斤}5\text{两}$$ $$\frac{1}{6}\text{两} = \frac{24}{6}\text{铢} = 4\text{铢}$$

所以 $y = 1\text{钧}10\text{斤}5\text{两}4\text{铢}$。

再求 $x$：

$$x = \frac{79949}{24} - \frac{15484}{24} = \frac{64465}{24} = 2686\frac{1}{24}\text{两}\text{（贱，4钱）}$$

换算：

$$2686\text{两} = 167\text{斤} + 14\text{两}$$ $$167\text{斤} = 5\text{钧}17\text{斤} = 1\text{石}1\text{钧}17\text{斤}$$ $$\frac{1}{24}\text{两} = 1\text{铢}$$

所以 $x = 1\text{石}1\text{钧}17\text{斤}14\text{两}1\text{铢}$。

为什么叫"其率术"

"其率"二字拆开来看："其"指"其中的"，"率"指"比率"或"单价"。合在一起就是"其中的单价"——即从混合购买中分离出各自的单价。

这套算法的核心步骤是实如法而一：用总钱数除以总两数，得到商和余数。商取整就是贱价（4钱/两），余数对应的那部分丝就是贵价（5钱/两）。古人不需要设未知数、列方程，只需要做一次除法和一次减法就能得到答案。

为什么这个算法能奏效？关键在于：贱价和高价只相差1钱（本题中4钱与5钱相差1）。如果单价差不是1而是其他数，就需要调整。这种"单价差为1"的假设，正是其率术的适用条件。

古今对照

方法	核心思想	本题应用
现代方程组	设未知数列方程求解	设两种丝重为 $x, y$，列二元一次方程组
古代假设法	假设全为一种，调整差额	假设全为5钱/两，差额即为4钱/两丝的重
其率术	实如法而一，不满法反减	总钱÷总两=均价取整为法（4钱），余数反减得贵（5钱）

古人解此题的"其率术"，核心是实如法而一：总钱数为实，总两数为法，相除得商4余数若干。商4即贱价，余数对应的重量即为贵价部分。这与现代"先求均价再分档"的思路完全一致。

本题容易出错的地方在于单位换算。古代衡制是十六进制（1斤=16两）和二十四进制（1两=24铢）的混合体，稍有不慎就会算错。特别是"645又1/6两"的换算：645÷16=40斤余5两，而非直接用645÷16=40.3125斤就完事——必须逐级除换，才能得到"1钧10斤5两4铢"的正确结果。

高中课本关联

1. 二元一次方程组（必修第一册）：设两种丝重为未知数，列方程组求解，是最直接的现代工具。

2. 分数运算（初中回顾）：本题涉及大量带分数与假分数的互化、通分、约分，是分数运算的实战练兵场。

3. 假设法与鸡兔同笼（古代数学文化）：本题本质是"鸡兔同笼"的变体——已知总价和总量，求两种单价的分配比例。

4. 数学建模（必修第二册）：从古代衡制单位到现代方程组，是单位换算与建模思想的综合训练。

高考考法：常以数学文化题形式出现，给出古代度量衡背景，要求用现代方法求解并验证。

思考与拓展

思考题1： 如果同样的丝按"铢率"（以铢为单位计价）分贵贱，贵价6铢一钱、贱价5铢一钱，各部分重量是多少？

提示： 总两数不变，以两为单位反推每两的单价（贵=5/6钱/两，贱=1钱/两），列方程组求解。可参考相邻的第44题（铢率）。

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思考题2： 其率术说"不满法者反以实减法，法贱实贵"。用本题的数字解释这句话：哪个数是"法"？哪个数是"实"？"反以实减法"具体怎么操作？

提示： 法=总两数=79949/24，实=总钱数=13970。实÷法得商4余15484/24，商4即贱价（4钱/两），余数15484/24=3871/6两即贵价部分（5钱/两）的重量。

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思考题3： 本题与第42题（斤率）共用同样的总价和总重，区别仅在计价单位（两vs斤）。为什么单位变了，结果的分配比例也跟着变？这说明"贵贱"的本质是什么？

提示： 贵贱不是丝的固有属性，而是人为选定的分割点。选不同的"法"（基准单位），均价不同，分档结果自然不同。

一句话总结

本题以丝为载体，用"其率术"将一石二钧丝按两计价分成贵贱两档，本质是已知总量和总价反求分配比例的逆向问题，体现了古人"实如法而一"的一步算法智慧。