术名：粟米·第41题——一石二钧丝，按钧率贵贱各几何？

原典

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧率之，问：各几何？

答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱。其一石二钧二十斤八两二十铢，钧二千一十三钱。

术曰（其率术，本组石钧斤两率共用）：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法贱实贵。

白话翻译

现在有人出一万三千九百七十钱，买了丝一石二钧二十八斤三两五铢。想要按照"贵"和"贱"两种价格，以钧为单位来分配这些丝，问：贵丝和贱丝各有多重？各值多少钱一钧？

答：其中一部分重七斤一十两九铢，每钧值二千零一十二钱；另一部分重一石二钧二十斤八两二十铢，每钧值二千零一十三钱。

示意图

数学解读

第一步：统一单位，算清总量

古代衡制关系：

$$1\text{石} = 4\text{钧},\quad 1\text{钧} = 30\text{斤},\quad 1\text{斤} = 16\text{两},\quad 1\text{两} = 24\text{铢}$$

所以：

$$1\text{钧} = 30 \times 16 \times 24 = 11520\text{铢}$$

总重量：一石二钧二十八斤三两五铢

$$= 46080 + 2 \times 11520 + 28 \times 384 + 3 \times 24 + 5 = 79949\text{铢}$$

化为钧：

$$\text{总钧数} = \frac{79949}{11520} \approx 6.9400\text{钧}$$

第二步：求均价，定贵贱

以钧为计价单位，总价除以总钧数：

$$\text{均价} = \frac{13970}{\frac{79949}{11520}} = \frac{13970 \times 11520}{79949} = \frac{160934400}{79949} \approx 2012.963\text{钱/钧}$$

均价介于2012与2013之间，因此：

$$\text{贱率} = 2012\text{钱/钧},\quad \text{贵率} = 2013\text{钱/钧}$$

第三步：建立方程组，求解分配

设贵丝（2013钱/钧）重 $x$ 钧，贱丝（2012钱/钧）重 $y$ 钧：

$$\begin{cases} x + y = \dfrac{79949}{11520} \\[6pt] 2013x + 2012y = 13970 \end{cases} \qquad (1)$$

由第一式得 $y = \dfrac{79949}{11520} - x$，代入第二式：

$$2013x + 2012\left(\frac{79949}{11520} - x\right) = 13970$$ $$2013x + \frac{2012 \times 79949}{11520} - 2012x = 13970$$ $$x = 13970 - \frac{2012 \times 79949}{11520}$$

化简得：

$$x = \frac{13970 \times 11520 - 2012 \times 79949}{11520} = \frac{160934400 - 160857388}{11520} = \frac{77012}{11520}\text{钧}$$

换算为复合单位：

$$\frac{77012}{11520}\text{钧} = 6\text{钧} + \frac{7892}{11520}\text{钧}$$ $$= 6\text{钧} + 20\text{斤} + \frac{252}{11520}\text{钧}$$ $$= 6\text{钧}20\text{斤} + 8\text{两} + 20\text{铢}$$

即1石2钧20斤8两20铢（因为6钧 = 1石2钧）：

$$\boxed{\text{贵丝} = 1\text{石}2\text{钧}20\text{斤}8\text{两}20\text{铢}}$$

再求 $y$：

$$y = \frac{79949}{11520} - \frac{77012}{11520} = \frac{2937}{11520}\text{钧}$$

换算：

$$\frac{2937}{11520}\text{钧} = 0\text{钧} + 7\text{斤} + \frac{777}{11520}\text{钧}$$ $$= 7\text{斤} + 10\text{两} + 9\text{铢}$$ $$\boxed{\text{贱丝} = 7\text{斤}10\text{两}9\text{铢}}$$

第四步：验证答案

验证重量：

$$77012\text{铢} + 2937\text{铢} = 79949\text{铢} \quad \checkmark$$

验证金额：

$$2013 \times \frac{77012}{11520} + 2012 \times \frac{2937}{11520} = \frac{155025156 + 5909244}{11520} = \frac{160934400}{11520} = 13970 \quad \checkmark$$

第五步：与石率的对比

同一堆丝、同一笔钱，仅把计价单位从"石"换成"钧"，结果截然不同：

对比项	78题（石率）	79题（钧率）
计价单位	石（46080铢）	钧（11520铢）
均价	≈ 8051.853 钱/石	≈ 2012.963 钱/钧
贱价	8051 钱/石	2012 钱/钧
贵价	8052 钱/石	2013 钱/钧
贵丝重	68201 铢（85.3%）	77012 铢（96.3%）
贱丝重	11748 铢（14.7%）	2937 铢（3.7%）

关键发现： 计价单位越小（钧 < 石），均价越接近整数（8051.853 vs 2012.963），贵丝占比越高（96.3% vs 85.3%）。这是因为单位越小，"1钱的价差"所占比例越大，分配越不均匀。

古今对照

其率术的本质是按相邻整数单价做加权分配，与现代数学方法有深刻对应：

方法	核心思想	本题应用
现代方程组	设未知数列方程求解	设两种丝重为 $x, y$，列二元一次方程组
加权平均	均价是两种价格的加权平均	均价2012.963是2012与2013的加权平均
假设法（鸡兔同笼）	假设全为一种，调整差额	假设全为2012钱，差额即为贵丝的重
古代其率术	实如法而一，法贱实贵	以钧为法除钱数，取整为贱价，加一为贵价

本题与78题的对比揭示了一个深刻的数学道理：同一个分配问题，选择不同的度量单位，会得到不同的价格区间和分配比例——这是"量纲分析"的古代萌芽。

高中课本关联

1. 二元一次方程组（必修第一册）：方程组列法与78题完全同构，只是系数不同。

2. 加权平均数（必修第二册统计）：均价是2012与2013的加权平均，权重取决于丝的钧数占比。

3. 单位换算与量纲分析（数学建模）：同一问题换不同单位，结果的结构不变但数值不同——这是量纲分析的基本思想。

4. 极端值分析：钧率下贱丝仅占3.7%，接近极端分配；而石率下贱丝占14.7%。这体现了"度量粒度"对分配均匀性的影响。

高考考法：常以数学文化题形式出现，对比同一问题在不同单位下的求解，考查单位换算与方程思想。

思考与拓展

思考题1： 如果把计价单位换成"铢"（最小单位），贵贱两种价格会是什么？贵丝占比会是多少？

提示： 均价 = 13970 × 24 / 79949 ≈ 4.195 钱/铢，贱价4钱/铢，贵价5钱/铢。贵丝占比 = 0.195 / 1 = 19.5%。

---

思考题2： 本题与78题（石率）、80题（斤率）共用同一堆丝和同一笔钱。观察三题的贵丝占比：85.3%（石率）、96.3%（钧率），它们为什么不同？有什么规律？

提示： 计价单位越大，均价的小数部分越小，贵丝占比越低。规律与"单位大小"成反比。

---

思考题3： 如果市场上贵价是2015钱/钧、贱价是2010钱/钧（价差为5），总钱数和总重不变，贵丝和贱丝各有多重？

提示： 均价不变，但价差从1变为5，分配比例会完全不同。需要重新列方程组。

一句话总结

同一堆丝以钧计价，均价约2012.963，贵贱两价仅差1钱却让贵丝占了96%——计价单位的选择直接影响分配格局，这是其率术揭示的"量纲效应"。