邪田术：直角梯形的面积公式——《九章算术》第三十三讲

原文

今有邪田，一头广三十步三分步之二，一头广四十二步四分步之三，正从一百二步六分步之五。问为田几何？

答曰：十五亩一百七十四步一百四十四分步之一百二十一。

邪田术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。

白话翻译

有一块直角梯形田，上底长 $30\dfrac{2}{3}$ 步，下底长 $42\dfrac{3}{4}$ 步，高（正从）长 $102\dfrac{5}{6}$ 步。问这块田的面积是多少？

答：合 15 亩 $174\dfrac{121}{144}$ 平方步。

术文说：直角梯形面积术——将两条不平行的底边（两邪）相加取一半，再乘以高（正从或广）。也可以先将高取一半，再乘以两底之和。两种算法等价。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

第一步：将带分数化为假分数

上底（一头广）：

$$30\dfrac{2}{3} = \frac{30 \times 3 + 2}{3} = \frac{92}{3}$$

下底（一头广）：

$$42\dfrac{3}{4} = \frac{42 \times 4 + 3}{4} = \frac{171}{4}$$

高（正从）：

$$102\dfrac{5}{6} = \frac{102 \times 6 + 5}{6} = \frac{617}{6}$$

第二步：计算两底之和

$$\frac{92}{3} + \frac{171}{4} = \frac{92 \times 4}{12} + \frac{171 \times 3}{12} = \frac{368}{12} + \frac{513}{12} = \frac{881}{12}$$

第三步：代入梯形面积公式

$$S = \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高} = \frac{1}{2} \times \frac{881}{12} \times \frac{617}{6}$$ $$S = \frac{881 \times 617}{2 \times 12 \times 6} = \frac{543577}{144}$$

第四步：化为带分数并换算单位

$$\frac{543577}{144} = 3774\frac{121}{144} \text{ 平方步}$$

按秦汉度量：1 亩 = 240 平方步

$$3774 \div 240 = 15 \text{ 余 } 174$$

故面积为 $15$ 亩 $174\dfrac{121}{144}$ 平方步。

二、古术逐句解释

"并两邪而半之"：将两条不平行的底边（邪）相加，再取其半。这正是现代梯形中位线 $\dfrac{a+b}{2}$ 的概念。

"以乘正从若广"：用中位线乘以高。"正从"指梯形的高（垂直距离），"广"是另一条边长的通称。此处"正从若广"意为"高或与之垂直的那条边"——对于直角梯形，高就是其中一条垂直于底边的腰。

"又可半正从若广，以乘并"：这是等价的另一种算法——先将高取半，再乘以两底之和。即 $S = \dfrac{h}{2} \times (a+b)$，与 $S = \dfrac{a+b}{2} \times h$ 完全等价。

术文用极简练的语言给出了两种等价的计算路径，体现了《九章算术》"一题多术"的特点，也反映出古人对乘法交换律的深刻理解。

三、古今对照验证

项目	古代算法	现代公式	数值
上底	三十步三分步之二	$\dfrac{92}{3}$	30.667 步
下底	四十二步四分步之三	$\dfrac{171}{4}$	42.75 步
高	一百二步六分步之五	$\dfrac{617}{6}$	102.833 步
面积	—	$\dfrac{543577}{144}$	≈ 3774.84 平方步
最终答案	十五亩一百七十四步一百四十四分步之一百二十一	15亩 $174\dfrac{121}{144}$ 步	完全一致

古今算法本质相同，都是 $S = \dfrac{1}{2}(a+b)h$。区别在于：现代直接用公式计算，古代则通过"齐同术"（通分）和"约分术"逐步演算，每一步都要求将分数化为同分母后再进行加减。

四、分数运算的技术细节

本题涉及的通分计算相当复杂。以 $92/3 + 171/4$ 为例：

1. 求公分母：3 与 4 的最小公倍数为 12
2. 齐：将分子分母同乘使分母变为 12
   • $92/3 = (92 \times 4)/(3 \times 4) = 368/12$
   • $171/4 = (171 \times 3)/(4 \times 3) = 513/12$
3. 同：分母相同后，分子直接相加：$368 + 513 = 881$
4. 结果：$881/12$

这套"齐同术"体系在《方田》章中有完整论述，是中国古代分数理论的核心，比欧洲同类方法早了约一千年。

五、中西比较

时代对照：

• 《九章算术》约成书于公元 1 世纪（西汉至东汉之间）
• 古希腊欧几里得《几何原本》（约公元前 300 年）主要处理几何量的比例关系，未给出梯形面积公式
• 古印度《阿耶波多历算书》（公元 499 年）给出梯形面积公式，晚于《九章》约 400 年
• 古埃及莱茵德纸草书（约公元前 1650 年）虽有面积计算，但无一般梯形公式的明确记载

方法特点：

• 《九章算术》以算法为中心，给出可直接操作的计算程序（术）
• 古希腊数学偏重几何证明，面积公式以定理形式呈现
• 两者各有千秋：中国算法便于实际计算，希腊体系长于逻辑推理

高中课本关联

知识点对接：

1. 人教 A 版必修第二册：棱柱、棱锥、棱台的体积计算中，台体体积公式 $V = \dfrac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$ 与梯形面积公式结构相似，都是"平均值乘高"的思想
2. 人教 A 版选择性必修第二册：数列求和中的"倒序相加法"，本质与梯形面积公式的推导思想一致——将两个相同梯形拼成平行四边形
3. 定积分概念：梯形面积是积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 当 $f(x)$ 为线性函数时的特例，是微积分基本思想的萌芽

高考考法：

• 近年高考数学注重数学文化渗透，常以《九章算术》为背景命题
• 典型考法：给出古文原文，要求提取数学信息并计算；或判断古代算法与现代公式的对应关系
• 2020 年全国卷曾考查与《九章算术》"堑堵"相关的立体几何题

思考与拓展

练习 1：若邪田的上底为 $24\dfrac{1}{2}$ 步，下底为 $36\dfrac{2}{3}$ 步，正从为 $48\dfrac{3}{4}$ 步，求面积。

提示：$24\dfrac{1}{2} = 49/2$，$36\dfrac{2}{3} = 110/3$，$48\dfrac{3}{4} = 195/4$。公分母为 12，面积 $= \dfrac{1}{2} \times (49/2 + 110/3) \times 195/4$

练习 2：证明"并两邪而半之，以乘正从"与"半正从，以乘并"两种算法等价。

提示：设两底为 $a, b$，高为 $h$，比较 $\dfrac{a+b}{2} \times h$ 与 $\dfrac{h}{2} \times (a+b)$，应用乘法交换律。

练习 3：一个直角梯形的上底与下底之比为 2:3，高为 20 步，面积为 350 平方步，求上底和下底的长度。

提示：设上底 $2x$，下底 $3x$，则 $\dfrac{1}{2}(2x+3x) \times 20 = 350$，解得 $x = 7$，故上底 14 步，下底 21 步。

一句话总结

邪田术以"并两邪而半之，以乘正从"十字诀，完美概括了直角梯形面积等于中位线乘高的公式，配合齐同术处理复杂分数运算，展现了汉代数学的高超算法水平。