函数与方程——用图象数零点

零点个数就是图象与 x 轴的交点个数

三个名字说同一件事

函数零点的定义很简单，但一旦看清它是什么，一大批难题立刻变得可视。

对于函数 $y = f(x)$，把使 $f(x) = 0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的零点。

零点是点还是数？——是数，是横坐标。初学者常把它当成"图象上的点"，其实零点的坐标是 $(x_0, 0)$，而零点本身是 $x_0$。

现在看三个等价的表述：

• $x_0$ 是方程 $f(x) = 0$ 的根
• $x_0$ 是函数 $y = f(x)$ 的零点
• $(x_0, 0)$ 是函数 $y = f(x)$ 图象与 $x$ 轴的交点

这三种说法考的是同一个知识点。 高考题经常在三种语言之间切换：题目给你方程，让你证"有两个根"；你一转身就该翻译成"画 $y = f(x)$ 数它与 $x$ 轴交几个点"。

判断零点存在性：零点定理

零点定理（介值定理的特殊情形）：

如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是不间断的曲线，并且有 $f(a) \cdot f(b) < 0$，那么函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有零点。

三个条件缺一不可：

第一：区间上连续。 图象不能断开。$f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 上，$f(-1) = -1$、$f(1) = 1$ 异号，但 $x = 0$ 处断开，没有零点。

第二：端点函数值异号。 $f(a) \cdot f(b) < 0$ 是严格小于零，一个正一个负。等于零说明端点本身就是零点。

第三：只能推出"存在"，不能推出"唯一"和"个数"。

最后这一条是重点，单独说。

定理管"有"，不管"几个"

这是零点定理最大的坑，也是最常被问的地方。

$f(a) \cdot f(b) < 0$ 能保证区间内至少有一个零点。但可能是 1 个、3 个、5 个。

举个经典例子。$f(x) = x^3 - x$ 在 $[-2, 2]$ 上：$f(-2) = -6$、$f(2) = 6$ 异号，能推出有零点。可它有 3 个零点：$-1$、$0$、$1$。

所以：

• 用零点定理证存在性，合法且常用。
• 用"端点异号"证唯一性，不合法——你说服不了阅卷人。
• 若要证唯一，必须再加条件：函数在该区间上单调。单调函数如果有零点，只能有一个。

标准模板：先用零点定理证存在（端点异号），再用单调性证唯一（导数大于零）。 两步合起来才是完整的"有且仅有一个"。

数零点个数：画两个函数

考试问"有几个零点"，标准解法不是解方程，是画图看交点。

$$f(x) = \ln x - x + 2 \quad \text{有几个零点}$$

零点满足 $\ln x = x - 2$。把原函数拆成两个：左边一个、右边一个。

画 $y = \ln x$：过 $(1, 0)$，单调递增，上凸，$x > 0$。 画 $y = x - 2$：一条直线，过 $(2, 0)$，斜率 1。

看交点：

• $x = 1$ 处 $\ln 1 = 0$，直线上 $1 - 2 = -1$。对数在上，差为正。
• $x$ 很小时 $\ln x \to -\infty$，直线有限。对数在下，差为负。

中间必有一个交点。

• $x = 4$ 处 $\ln 4 \approx 1.386$，直线上 $4 - 2 = 2$。对数在下，差为负。

从"上"到"下"只发生一次，所以只有一个交点。

严格证明要导数：设 $g(x) = \ln x - x + 2$，$g'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1-x}{x}$。所以 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 递增、$(1,+\infty)$ 递减，$x = 1$ 处取最大值 $g(1) = 1 > 0$。两侧都趋于 $-\infty$，最大值又为正，所以恰有两个零点。

画图看出 2 个，导数证出 2 个，一致。

"画图给假设、导数给证明"——这个分工在函数与方程这一讲要立起来。 高考解答题扣分，往往扣在"只画图不证明"。

二分法：用计算代替推理

零点定理还有一个实用副产品：二分法。

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，那么：

1. 取中点 $c = \dfrac{a+b}{2}$
2. 若 $f(c) = 0$，$c$ 就是零点
3. 若 $f(a) \cdot f(c) < 0$，零点在 $[a, c]$，把 $b$ 换成 $c$
4. 若 $f(c) \cdot f(b) < 0$，零点在 $[c, b]$，把 $a$ 换成 $c$
5. 重复

每操作一次，区间长度减半。这是零点存在性的"生产化"——从"知道有"变成"算得出"。

高考考二分法，考的是流程图、迭代表，不是让你手算十步。记住核心：区间套区间，精度每一步翻一倍。

在高中数学体系里的位置

• 单调性（第六讲）：证零点唯一的主工具，"存在 + 单调 = 唯一"。
• 最大值最小值（第七讲）：$f(a) \cdot f(b) < 0$ 是介值定理的推论，而介值定理又是连续函数在闭区间上有最值的伙伴定理。
• 导数（另一专题）：求 $f'(x)$ 判单调，是严格数零点的标准路径。
• 方程思想：这一讲是"函数与方程"这个高中数学核心素养的直接落脚点——代数问题（解方程）几何化（数交点），几何问题（画图）代数化（判符号）。

思考与拓展

1. 函数 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 的零点有哪些？写出对应方程的根。
2. 证明：$f(x) = x^3 + x - 1$ 在 $(0, 1)$ 内有唯一零点。
3. 用二分法估计方程 $x^2 - 2 = 0$ 在 $[1, 2]$ 内的根，列出前 3 步的区间。
4. 方程 $\lg x = 3 - x$ 有几个实数解？

高考母题

（2019·全国Ⅲ卷） 函数 $f(x)=2\sin x-\sin 2x$ 在 $\left[0,2\pi\right]$ 的零点个数为（ ）

A．2　　B．3　　C．4　　D．5

展开详解

答案：B

零点，就是图象与 $x$ 轴的交点，也是方程 $f(x)=0$ 的根——三个名字说同一件事。

$f(x)=2\sin x-\sin 2x$

先用二倍角公式把 $\sin 2x$ 展开：

$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$

代回去：

$$f(x)=2\sin x-2\sin x\cos x=2\sin x\,(1-\cos x)$$

因式分解出来了。 乘积为零，必有一因子为零：

$$2\sin x=0\quad\text{或}\quad 1-\cos x=0$$

即：

$$\sin x=0\quad\text{或}\quad\cos x=1$$

在 $\left[0,2\pi\right]$ 上解。

$\sin x=0$ 给出 $x=0$、$\pi$、$2\pi$——三个。

$\cos x=1$ 给出 $x=0$、$2\pi$——这两个已经包含在前三个里了。

所以总共 3 个零点：$0$、$\pi$、$2\pi$。选 B。

这道题在考什么： 正是本讲的核心——"方程的根"就是"函数的零点"就是"图象与 $x$ 轴的交点"。这里最后一条帮你快速验证：画个草图，$2\sin x-\sin2x$ 大概在原点、$\pi$、$2\pi$ 处穿过 $x$ 轴，中段上下振荡但不穿越。数交点数一数，正好 3 个。

易错点： 两个因子解完不去重，$0$ 和 $2\pi$ 被数两遍，得 5（那就掉进 D 的坑了）。并集要合并，重复只算一次。

还有一处：$\cos x=1$ 单独看会有人额外加上"$\pi$"之类的——不会，$\cos\pi=-1$。

一句话总结

零点、方程的根、图象与 x 轴交点是同一件事；零点定理管"存在"不管"个数"，证唯一必须配单调性；数零点的标准打法是拆成两个函数画交点，画图给假设、导数给证明。