函数模型与应用——把现实翻译成函数

建模四步：变量、函数式、定义域、最值

一道题的三种解法

应用题是高中数学里最容易被"算错"吓住的一类，其实它的难点根本不在算。

看一道真实的高考风格题目：

某企业 2019 年生产总值 100 万元，计划今后每年增长 10%。问多少年后生产总值翻一番？

解法一：等差模型。 每年增加固定 10 万元。$100 + 10n = 200$，得 $n = 10$ 年。

解法二：等比模型。 每年乘 1.1。$100 \times 1.1^n = 200$，取对数 $n = \dfrac{\lg 2}{\lg 1.1} \approx \dfrac{0.301}{0.0414} \approx 7.27$，所以第 8 年翻番。

解法三：分段模型。 前三年每年增 10 万元，之后每年增 12 万元。列分段函数解。

哪个对？取决于题意。 "每年增长 10%"这个词在中文里有歧义：

• $100$ 的 $10\%$ = 固定增加 10 万 → 等差
• 上一年产值的 $10\%$ → 等比

"读题"这一步的分歧，比"解题"大得多。 高考应用题的描述通常会用"每年比上一年增长 10%"来锁定等比，用"每年增加 10 万元"来锁定等差。看清这些字，题就做完了一半。

三段论：读题、建模、解模

任何函数应用题，都走这三步。顺序不能颠倒。

第一段：阅读理解

要做的不是急着列式，是把题目里的信息分成三类：

变量：哪些量在变？谁是自变量，谁是因变量？ 常量：哪些量固定不变？ 关系：变量之间有等式？还是不等式？有没有"最大""最小""至少""不超过"这类限定词？

限定词是最容易被漏掉的。 "不超过 50 人"写出来是 $x \le 50$，它就是定义域的一部分。"至少"是 $\ge$，"至多"是 $\le$，"不足"是 $<$。

单位也要记。 分钟还是小时，元还是万元。单位不一致是应用题最常见的低级错。

第二段：数学建模

把读出来的关系翻译成函数。四种基本模型覆盖高中全部应用题：

模型	形式	关键词
一次函数	$y = kx + b$	匀速、线性增长、单价固定
二次函数	$y = ax^2 + bx + c$	面积、利润、抛物线轨迹
指数函数	$y = a \cdot b^x$	复利、翻倍、细胞分裂、放射性衰变
对数函数	$y = \log_a x$	地震震级、pH 值、数据压缩

表格的意义在于：认出关键词就能定模型。 看到"复利""按复利计算"，立刻指数模型；看到"面积最大""利润最大"，立刻二次函数配方。

还有一种"反比例"模型：$y = \dfrac{k}{x}$，关键词是"总量固定、两部分成反比"——路程一定时速度与时间，总量一定时每组人数与组数。

第三段：解模与回答

模型建好，剩下就是解方程/求最值/判单调，用的是前十三讲的工具。

最后一步"回答"看似废话，其实年年有人栽：

• 题目问"多少人"，答案必须是整数。算出 47.3，要答"最多 47 人"（如果要求不超过）。
• 题目问"几年后"，算出 7.27，要答"第 8 年"。
• 题目问"最低成本"，要带上单位（元/万元）。

"答非所问"是应用题的隐形扣分点。 解对了但单位丢了、取整方向错了，一样扣分。

一个完整的例子走一遍

题目：某工厂生产一种产品，固定成本 3 万元，每多生产一件成本增加 100 元。据市场调查，售价为 200 元/件时，年销售量为 500 件；售价每提高 10 元，销量减少 20 件。问售价定为多少时利润最大？

第一段：读题。

• 变动成本：每件 100 元
• 固定成本：30000 元
• 售价与销量的关系：这是一个线性递减关系

第二段：建模。

设售价为 $x$ 元（$x \ge 200$）。

销量：售价 200 时 500 件，每涨 10 元少 20 件，即每涨 1 元少 2 件：

$$q = 500 - 2(x - 200) = 900 - 2x$$

利润 = 售价 × 销量 − 总成本。总成本 = 固定 + 单位成本 × 数量：

$$L = x(900 - 2x) - [30000 + 100(900 - 2x)]$$

展开：

$$L = 900x - 2x^2 - 30000 - 90000 + 200x$$ $$L = -2x^2 + 1100x - 120000$$

配方：

$$L = -2(x - 275)^2 + 2 \times 275^2 - 120000$$ $$L = -2(x - 275)^2 + 151250 - 120000 = -2(x - 275)^2 + 31250$$

第三段：解模与回答。

抛物线开口向下，$x = 275$ 时取最大值。此时销量 $900 - 550 = 350$ 件，最大利润 31250 元。

答：售价定为 275 元/件 时利润最大，最大利润 31250 元。

这里要验一件事：销量不能为负。 $900 - 2x \ge 0$ 即 $x \le 450$。$275 < 450$，在合法范围内，答案有效。忽略这个检查，题目改了数字就可能给出荒谬的答案。

分段函数：现实世界的本来面目

很多实际问题根本不是"一个式子管到底"，而是分段。

个税、阶梯水价、阶梯电价、出租车计费、快递费——全是分段函数。

人教A必修一 book 3.4 那个经典的个税例子（你可以在教材 OCR 底库的 p0093-p0099 找到）：

$$y = \begin{cases} 0, & 0 \le x \le 87700 \\ 0.024x - 2104.8, & 87700 < x \le 132700 \\ \cdots \end{cases}$$

看懂分段函数的三个关键：

1. 每一段对应一个"起征点"或"门槛"——找这些数是读题的关键。
2. 算某个收入段的税额，只能用那一段的式子——不能跨段套。
3. 端点是开是闭要看题意——"超过 5000 元的部分"是 $x > 5000$，端点不取。

分段函数是"读题能力"的终极考场。 它把"把现实翻译成函数"这件事直接摊在纸面上。

在高中数学体系里的位置

• 定义域（第二讲）：实际意义给的定义域在这讲兑现——人数取整、长度为正、销量非负。
• 最值（第七讲）：应用题的目标多半是"最大利润""最小成本"，全部归结为求最值。
• 指数对数（第十一、十二讲）：复利与震级模型的工具。
• 数学建模：这一讲是高中"数学建模活动"的入口。人教A必修一第 108 页起有一个完整的茶水泡制建模案例（从室温、水量、茶叶量找最佳口感），底库 p0170 有完整文字，可以直接当课堂素材。

思考与拓展

1. 一辆出租车起步价 8 元（含 3 km），之后每千米 1.5 元。写出车费 $y$ 与路程 $x$ 的函数，并求行驶 7 km 的车费。
2. 某商品进价 80 元，售价 100 元时月销 200 件。售价每涨 1 元，销量减少 5 件。求最大利润与对应售价。
3. 一笔 10 万元存款，年利率 2%，按复利计算，几年后本息和超过 12 万元？
4. 查阅人教A必修一"数学建模"活动（底库 p0170 附近），选一个题目说明它的"三段论"分别是什么。

高考母题

（2020·全国Ⅲ卷） Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$（$t$ 的单位：天）的 Logistic 模型：

$$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$$

其中 $K$ 为最大确诊病例数。当 $I(t^{*})=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（ ）（$\ln19\approx3$）

A．60　　B．63　　C．66　　D．69

展开详解

答案：C

应用题的难点从来不是解函数，是读懂题目在说什么，再决定用哪个函数。这题的函数已经给好了，所以纯粹是代数。

把条件代进去：

$$I(t^{*})=\frac{K}{1+e^{-0.23(t^{*}-53)}}=0.95K$$

$K$ 是公共因子，两边同除，它消失了：

$$\frac{1}{1+e^{-0.23(t^{*}-53)}}=0.95$$

把分母倒过来：

$$1+e^{-0.23(t^{*}-53)}=\frac{1}{0.95}=\frac{100}{95}=\frac{20}{19}$$ $$e^{-0.23(t^{*}-53)}=\frac{20}{19}-1=\frac{1}{19}$$

负指数不好看，翻过来：

$$e^{0.23(t^{*}-53)}=19$$

两边取对数（这就是本专题第十二讲的用武之地）：

$$0.23(t^{*}-53)=\ln19\approx3$$

题目很贴心地给了 $\ln19\approx3$，代进去：

$$t^{*}-53\approx\frac{3}{0.23}\approx13.04$$ $$t^{*}\approx53+13.04\approx66$$

选 C（66）。

这道题在考什么： 正是本讲的三段论——阅读理解、数学建模、解模回答。

第一段（阅读理解）：$K$ 是天花板，$53$ 是拐点那天，$t$ 是天数。 第二段（数学建模）：题目已经把模型建好了，你只需要把 $0.95K$ 代进去。 第三段（解模回答）：$t^{*}\approx66$ 天——答的是什么？是"从爆发到基本受控"花了大约 66 天。

易错点： 两处。一是 $K$ 忘了约掉，抱着一个大式子不敢动；二是 $\dfrac{1}{0.95}=\dfrac{20}{19}$ 这步算错，后面全歪。记住：小数先化分数，$0.95=\dfrac{19}{20}$，倒数就是 $\dfrac{20}{19}$，减 1 得 $\dfrac1{19}$，一眼看清对面是 19。

一句话总结

应用题走三段论：读题（分清变量、常量、限定词）、建模（认关键词定模型）、解模回答（注意取整与单位）；分段函数是现实的本貌，门槛、跨段、端点是三个抓手。