对数函数——指数的反问题

对数与指数互逆，三条运算律一条戒律

一个反问就把指数翻过来

指数问的是"翻倍之后是多少"，对数问的是"翻了几倍"。

$2^3 = 8$ 说的是"翻 3 次得 8"。反过来问："翻几次能得到 8？"答案就是 $\log_2 8 = 3$。

$$a^x = N \iff x = \log_a N$$

左边是指数运算，右边是对数运算。$a$ 叫底数，$N$ 叫真数，$x$ 叫以 $a$ 为底 $N$ 的对数。

对数不是新东西，它只是指数方程的解。 学对数的最大障碍是把它当成一套新符号去记，而它本质上是你熟悉的那件事的反问。

定义里的两条硬约束

由 $a^x = N$ 反推对数，有两条从指数继承来的限制：

第一：底数 $a > 0$ 且 $a \ne 1$。 理由同指数函数。

第二：真数 $N > 0$。 因为 $a^x > 0$ 恒成立，所以 $N$ 不可能为 0 或负数。

负数没有对数。 $\log_2(-4)$ 无意义。这一条在解对数方程时最要紧——解出根来必须代回去验算，混进使真数为负的增根是常事。

三条运算法则：乘法变加法

对数的存在理由是它把高级运算降级。

$$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$$ $$\log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$$ $$\log_a M^n = n \log_a M$$

第一条是灵魂：乘法变成了加法。 在计算器诞生之前，科学家靠这一条把几年的乘法工作压缩到几分钟——两个数相乘，先各查一张表取对数，加起来，再反查回去。这套机制在 16 到 20 世纪初统治了科学计算四百年。

记忆窍门：每一条都是把乘法"拆开"，加减乘除四则对应过去。

• 乘 $\to$ 加
• 除 $\to$ 减
• 乘方 $\to$ 乘

注意没有"对数的加法拆开"这种规则：

$$\log_a(M + N) \ne \log_a M + \log_a N$$

这是最容易犯的错。$\lg 2 + \lg 3 = \lg 6$，但 $\lg(2+3) = \lg 5 \ne \lg 2 + \lg 3$。看到对数里有加号，十有八九是要你先用第一条反过来合成一个真数。

两条换底：万能钥匙

换底公式

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c c}$$

$c$ 取什么都行，通常取 10 或 $e$。

换底公式的用途是把不同底的对数统一。 考试里给 $\log_2 3$ 和 $\log_3 5$ 让你比大小、或证明不等式，第一步几乎总是换底。

两个恒等式

令 $c = a$ 得 $\log_a a = 1$，所以：

$$\log_a a^b = b$$

令 $b = a$ 得另一条：

$$a^{\log_a N} = N$$

第二条是化简利器。 看到 $a^{\log_a(\text{一坨})}$，直接抽出一坨。这题在填空选择里年年有。

特殊底数记牢

常用对数：$\lg N = \log_{10} N$，底数 10 省略不写。 自然对数：$\ln N = \log_e N$，$e \approx 2.71828$。 二进制对数：$\log_2 N$，计算机科学常用。

三条必背的结论：

• $\lg 1 = 0$，$\lg 10 = 1$
• $\ln 1 = 0$，$\ln e = 1$
• $\log_a 1 = 0$（任何底）

对数函数：把爆炸压成直线

$y = \log_a x$ 是 $y = a^x$ 的反函数，图象关于直线 $y = x$ 对称。

性质与指数函数逐条对偶：

	指数 $y = a^x$	对数 $y = \log_a x$
定义域	$\mathbb{R}$	$(0, +\infty)$
值域	$(0, +\infty)$	$\mathbb{R}$
定点	$(0, 1)$	$(1, 0)$
单调性	$a>1$ 增	$a>1$ 增
渐近线	$x = 0$（横）	$y = 0$（纵）
过 $(1,1)$ 附近	必过	必过

单调性是同向的：指数增，对数也增。这跟幂函数和反比例函数"反向"不一样，别搞混。

定义域必须大于 0，这一条的考试回报极高：$\ln x$ 的定义域是 $x>0$，任何求 $\ln x$ 最值、单调区间的题，第一句都该写"$x > 0$"。

三条收尾：对数比大小

对数比大小没有万能法，但有两条最有用的。

第一条：同底看真数。 $y = \log_2 x$ 递增，所以 $\log_2 5 > \log_2 3$。

第二条：不同底换同一个底。 比较 $\log_2 3$ 与 $\log_3 2$，换常用对数：

$$\log_2 3 = \frac{\lg 3}{\lg 2} \approx \frac{0.477}{0.301} \approx 1.59$$ $$\log_3 2 = \frac{\lg 2}{\lg 3} \approx 0.63$$

前者大。或者用一条更漂亮的观察：$\log_2 3 > \log_2 2 = 1$ 而 $\log_3 2 < \log_3 3 = 1$。

"跟 1 比"是对数比大小最常用的一招——因为 $\log_a a = 1$，而 1 又是好用的中间量。

解对数方程：验算不可省

$$\lg(x - 1) + \lg(x + 1) = \lg 4$$

合成一个对数：

$$\lg[(x-1)(x+1)] = \lg 4$$

所以 $(x-1)(x+1) = 4$，即 $x^2 - 1 = 4$，$x^2 = 5$，$x = \pm\sqrt{5}$。

验算： $x = \sqrt{5}$ 时 $x - 1 > 0$、$x + 1 > 0$，合法。$x = -\sqrt{5}$ 时 $x - 1 < 0$，真数为负，舍去。

答案是 $x = \sqrt{5}$。

"合成对数 → 解代数方程 → 代回验真数"这三步，解对数题是固定流程。 少了第三步，一半的题会给出两个根而其中一个是增根。

在高中数学体系里的位置

• 指数函数（上一讲）的反函数，两者配对出现。
• 不等式专题：$\log_a x$ 的单调性用来解对数不等式，注意底数小于 1 时不等号方向要翻。
• 数列里的"对数运算降维"思想，是化简连乘、连除型题的通法。
• 导数（另一专题）：$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$，微积分里最常用的求导公式之一。

思考与拓展

1. 计算：$\lg 4 + \lg 25$。
2. 计算：$2^{\log_2 5}$。
3. 比较大小：$\log_2 5$ 与 $\log_3 5$。
4. 解方程：$\lg(x^2 - 2x) = \lg(x - 1) + \lg 3$，并验算定义域。

高考母题

（2018·天津） 已知 $a=\log_{ 2 } e$，$b=\ln 2$，$c=\log_{ \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { 3 }$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为（ ）

A．$a>b>c$　　B．$b>a>c$　　C．$c>b>a$　　D．$c>a>b$

展开详解

答案：D

先把三个数各自定位：

$$a=\log_{2}e>1$$

因为 $e>2$，而 $y=\log_2 x$ 递增，所以 $\log_2 e>\log_2 2=1$。

$$b=\ln 2=\frac{1}{\log_{2}e}\in(0,1)$$

这一步用的是换底：$\ln 2=\log_e 2=\dfrac{\log_2 2}{\log_2 e}=\dfrac{1}{\log_2 e}$。既然分母 $\log_2 e>1$，$b$ 自然落进 $(0,1)$。

$$c=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}=\log_{2}3>\log_{2}e$$

底数 $\frac12$ 和真数 $\frac13$ 必须一起倒数——$\log_{1/2}\frac13=\log_2 3$（换底即可看出）。这一步是本题的关键：只倒底数不倒真数，或者只倒真数不倒底数，整题就错。

于是三段定位：$b<1<a<c$，所以 $c>a>b$。

这道题在考什么： 正是本讲最后说的「跟 1 比」。三个数里 $b<1$ 一眼可判（倒数落在 $(0,1)$），剩下 $a$ 与 $c$ 都比 1 大，再比谁更大——$c=\log_2 3$ 与 $a=\log_2 e$ 同底，真数 $3>e$，所以 $c>a$。同底比真数 + 跟 1 比，两条齐用，题就解完了。

易错点： $c$ 那个底数和真数都是分数，直接判断容易乱。记住 $\log_{1/a}\dfrac1N=\log_a N$，底真一同倒数，值不变。

一句话总结

对数是指数的反问；三条法则把乘法降成加法（注意对数里的加号不能拆）；过定点 $(1,0)$；解对数方程必须代回验真数，增根常出在负根。