指数函数——翻着倍子长的函数

所有指数函数都是 e^x 的缩放

先从一个古印度传说开始

相传国际象棋的发明人向国王要赏赐：第一格放 1 粒米，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，每一格是前一格的 2 倍，放满 64 格。

国王笑着答应了，认为这不过是几袋米的事。账算下来的结果是：$2^{64} - 1$，约 1844 亿亿粒，全国粮食堆起来也填不满这个棋盘。

这个故事不是让你吃惊，是让你记住指数函数的本质：它不是加法式增长，是乘法式增长——每一格翻一倍。 加法增长人能跟上，乘法增长人一定跟不上。

定义与"为什么底数要限制"

指数函数的形式是 $y = a^x$，其中 $a > 0$ 且 $a \ne 1$。

为什么要 $a > 0$？

如果 $a < 0$，比如 $a = -2$，那 $(-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}$ 在实数范围内没有意义。指数函数要求 $x$ 取遍所有实数，包括分数，所以底数必须是正数。

为什么要 $a \ne 1$？

如果 $a = 1$，$1^x = 1$ 对所有 $x$ 都是常数 1。这是个常函数，没有"翻倍"的性质，研究它没意义。

$a = 0$ 也不行：$0^0$ 无定义，$0^{-1}$ 也无定义。

所以底数就是限定在 $a > 0$ 且 $a \ne 1$。

一条万能公式：换成以 e 为底

所有指数函数都是同一个函数的缩放。

$$a^x = e^{x \ln a}$$

这条公式的用处是：研究 $y = a^x$ 的单调性、凹凸性，全都可以转化到 $y = e^x$ 上。

因为 $\ln a$ 在 $a > 1$ 时为正、$0 < a < 1$ 时为负，所以：

• $a > 1$ 时 $y = a^x$ 与 $y = e^x$ 同向，递增
• $0 < a < 1$ 时 $y = a^x$ 相当于 $e^{-|\ln a| x}$，递减

$\ln a$ 的绝对值越大，曲线越"陡"。

两条曲线，五种性质

指数函数的图象极其有规律，五种性质全部从"过定点 $(0,1)$"和"单调性"两点推出来。

性质一：必过定点 $(0, 1)$

$a^0 = 1$ 对任何 $a$ 成立。这条是万能解题钥匙——题目说"函数过定点"，八成是在考它。

性质二：$x$ 轴是渐近线

$x \to +\infty$ 时（$a<1$）或 $x \to -\infty$ 时（$a>1$），$a^x \to 0$。函数值可以无限接近 0，但永远不等于 0。

所以 $y = a^x$ 的值域是 $(0, +\infty)$，永远是正的。

这条常被忽略，但它拦住了很多错误：$a^x = -2$ 无解，$a^x > 0$ 是废话但有人证不出来。

性质三：关于底数的对称

$$a^x \text{ 与 } \left(\frac{1}{a}\right)^x \text{ 关于 } y \text{ 轴对称}$$

因为 $\left(\dfrac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$，而 $y = f(-x)$ 正是 $y = f(x)$ 关于 $y$ 轴的镜像。这一条在比大小题里能省一半计算。

性质四：翻倍格数固定

对 $y = 2^x$，每增加 1 个单位 $x$，函数值乘以 2。对 $y = 3^x$，每增加 1 个单位，函数值乘以 3。这个"每单位乘多少"刻画了增长速度，比"陡不陡"更本质。

性质五：乘法律

$$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$$

这是指数运算的灵魂，也是对数把乘法变加法的根据。

比大小：一题三解

例：比较 $2^{0.3}$ 与 $0.3^2$。

解法一：中间量。

$2^{0.3} > 2^0 = 1$（因为 $y=2^x$ 递增）。$0.3^2 = 0.09 < 1$。所以 $2^{0.3} > 0.3^2$。

解法二：换成同底。 不适用（幂与指数混着）。

解法三：画图。 $y = 2^x$ 全在 $y = 1$ 上方，$y = x^2$ 在 $x = 0.3$ 处远低于 1。一眼看出。

"中间量法"是高考官方解法，因为它严格：中间量必须与两头都能严格比大小，且最好是常见数（0、1、$\frac{1}{2}$ 等）。

看另一个必练的例子：

例：比较 $1.5^{0.3}$ 与 $0.8^{1.2}$。

$1.5 > 1$ 且指数为正 $\Rightarrow 1.5^{0.3} > 1.5^0 = 1$。 $0.8 < 1$ 且指数为正 $\Rightarrow 0.8^{1.2} < 0.8^0 = 1$。

所以 $1.5^{0.3} > 0.8^{1.2}$。

两条通用规则：

1. 底数大于 1、指数为正，值大于 1
2. 底数小于 1、指数为正，值小于 1

分居 1 两侧，直接比完，不需要算。

指数方程与指对互化

解指数方程的核心思想：把等式两边凑成同底，然后指数相等。

$$2^{x+1} = 8 \implies 2^{x+1} = 2^3 \implies x + 1 = 3 \implies x = 2$$

凑不成同底的，用对数：

$$2^x = 5 \implies x = \log_2 5$$

"指对互化"是指数函数的最后一招，也是对数函数的第一招。 两条公式背下来：

$$a^b = N \iff b = \log_a N$$

在高中数学体系里的位置

• 幂函数（上一讲）与指数函数共称基本初等函数，图象性质是同一套。
• 对数函数（下一讲）是指数的反函数，一讲一逆，定义域值域互换。
• 数列（另一专题）：等比数列的通项就是指数函数在整数点的取值。
• 导数（另一专题）：$(a^x)' = a^x \ln a$，增长率恰好是 $\ln a$ 乘以自身。
• 实际应用：人口增长、复利、放射性衰变、细胞分裂，全部是 $y = a^x$ 的模型。

思考与拓展

1. 比较大小：$3^{0.5}$ 与 $0.5^3$。
2. 函数 $y = a^{x-1} + 2$（$a > 0, a \ne 1$）必过哪个定点？
3. 解方程：$3^{2x} = 27$。
4. 若 $2^x = 5$，$x$ 介于哪两个整数之间？

高考母题

（教材母题·三版小卷） 已知 $0<a<1$，$0<x<y<1$，判断下面结论的正误：

(1) $a^{x}<a^{y}$；

(2) $a^{-x}>a^{-y}$；

(3) $a^{\frac{1}{x}}<a^{\frac{1}{y}}$；

(4) $\left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{1}{x}}<\left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{1}{y}}$

展开详解

答案：只有
(3) 正确

全部四问都压在同一个点上：底数 $a$ 是不是小于 1。

因为 $0<a<1$，指数函数 $f(t)=a^{t}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减——指数越大，函数值反而越小。

(1) 由 $x<y$ 得 $a^{x}>a^{y}$，所以 $a^{x}<a^{y}$ 错误。

(2) 由 $x<y$ 得 $-x>-y$，又 $f$ 递减，所以 $a^{-x}<a^{-y}$，原式错误。

(3) 由 $0<x<y<1$ 得 $\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{y}$，$f$ 递减，所以 $a^{\frac{1}{x}}<a^{\frac{1}{y}}$，正确。

(4) 此时底数变成 $\dfrac{1}{a}>1$，函数 $g(t)=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{t}$ 单调递增——增减方向整个翻过来了。由 $\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{y}$ 得 $\left(\dfrac{1}{a}\right)^{\frac{1}{x}}>\left(\dfrac{1}{a}\right)^{\frac{1}{y}}$，原式错误。

这道题在考什么： 正是本讲的核心——底数决定增减方向。$a>1$ 时"指数大则值大"，$0<a<1$ 时"指数大则值小"，两个方向的直觉不能混。四问里
(1)
(2) 是让你把 $a>1$ 的惯性用错地方，(4) 是让你再换一次底数、再翻一次方向。

易错点： 有一种常用的验算办法——代一个具体的数进去。取 $a=\dfrac14$，$x=\dfrac14$，$y=\dfrac12$：

(1) $\left(\dfrac14\right)^{1/4}\approx0.707 > \left(\dfrac14\right)^{1/2}=0.5$，与"$a^x<a^y$"矛盾 → 错

(3) $\left(\dfrac14\right)^{4}=\dfrac1{256}<\dfrac1{16}=\left(\dfrac14\right)^{2}$ → 对

(4) $4^{4}=256>16=4^{2}$ → 错

自己拿不准的时候，代数是比硬想更可靠的路。

一句话总结

指数函数是"每单位乘固定倍数"；过定点 $(0,1)$、值域恒正、$x$ 轴是渐近线；比大小用中间量法，分居 1 两侧就不用算；解指数方程能凑同底就凑，凑不成换对数。