幂函数——最简单的不变量

幂函数都过 (1,1)，按 α 分三区看形状

指数不动，底数在变

前面九讲讲的是一般函数，从这一讲开始碰三个具体的基本初等函数，最后一个最有用。

先分清一件事：幂函数和指数函数长得像，但完全不同。

$$y = x^2 \quad \text{是幂函数——底数是变量，指数是常数}$$ $$y = 2^x \quad \text{是指数函数——底数是常数，指数是变量}$$

这个区分年年有人栽。判断办法：看 $x$ 在哪个位置。 $x$ 在底上就是幂函数，$x$ 在指数上就是指数函数。

幂函数的一般形式是 $y = x^{\alpha}$，$\alpha$ 是一个实常数。

五种形状，必须一眼认出

高考不要求你画得多精确，但要求你看见 $y = x^{-1}$、$y = x^{\frac{1}{2}}$、$y = x^{\frac{1}{3}}$ 就知道它长什么样。

第一种：$\alpha > 1$，过原点，下凸，增。

$y = x^2$、$y = x^3$。图象从原点出发，向右上跑，而且越跑越陡（二阶导为正，下凸）。

第二种：$0 < \alpha < 1$，过原点，上凸，增。

$y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$、$y = x^{\frac{1}{3}}$。也是从原点出发向右上，但越跑越平（二阶导为负，上凸）。

这一种和第一种的最重要区别，在 $0 < x < 1$ 时的大小关系：

$$x = \dfrac{1}{4}, \quad x^2 = \dfrac{1}{16}, \quad \sqrt{x} = \dfrac{1}{2}, \quad 即 \sqrt{x} > x > x^2$$ $$x = 4, \quad x^2 = 16, \quad \sqrt{x} = 2, \quad 即 x^2 > x > \sqrt{x}$$

同一个 $x$，在 1 的左边和在 1 的右边，幂次大小的排序是反的。 这是填空题最常设陷阱的地方：会背"指数越大函数值越大"的人，在这儿一定错——那句话只在 $x > 1$ 时成立。

第三种：$\alpha = 1$，一条直线。

$y = x$，连接前两种的临界线。

第四种：$\alpha = 0$，一条水平线。

$y = 1$（$x \ne 0$）。注意 $0^0$ 无意义，所以 $x = 0$ 处要抠掉。

第五种：$\alpha < 0$，不过原点，双曲线状，减。

$y = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$。$y = x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$。图象在第一象限从高处往下降，趋近但永不触碰两个坐标轴。

幂函数的三个共性

不管 $\alpha$ 是多少，幂函数都有三条不变的性质：

第一：都过点 $(1, 1)$。

$1^\alpha = 1$ 对任何 $\alpha$ 成立。这条性质在比大小题里极好用——比大小先看谁离 1 近。

第二：在第一象限都有确定的单调性。

$\alpha > 0$ 时递增，$\alpha < 0$ 时递减，$\alpha = 0$ 时常数。注意这个结论只在第一象限（$x>0$）说，因为负数的非整数次幂没定义。

第三：定义域取决于 $\alpha$。

• $\alpha$ 是正整数：定义域 $\mathbb{R}$
• $\alpha$ 是负整数：定义域 $x \ne 0$
• $\alpha$ 是分数 $\dfrac{p}{q}$（最简）：$q$ 为奇数时定义域 $\mathbb{R}$，$q$ 为偶数时定义域 $[0, +\infty)$

$\alpha = \dfrac{1}{2}$ 定义域 $[0, +\infty)$，$\alpha = \dfrac{1}{3}$ 和 $\alpha = \dfrac{2}{3}$ 定义域 $\mathbb{R}$（后者的值域是 $[0,+\infty)$，因为偶次方非负）。

一个必考比大小：$1.1^{0.1}$、$1.1^{0.3}$、$0.1^{0.1}$

这类题在选择题年年出现，靠一张"指数函数与幂函数竞争"的图解决。

三条线索：

线索一：$1.1$ 和 $0.1$ 都在第一象限，但 $1.1 > 1 > 0.1$，分居临界点两侧。

线索二：对底数大于 1 的幂，指数越大值越大。 $1.1^{0.3} > 1.1^{0.1}$。

线索三：对底数小于 1 的正幂，指数越大值越小。 $0.1^{0.1} > 0.1^{0.3}$，且 $0.1^{0.1} < 0.1^0 = 1$。

所以排序是 $0.1^{0.1} < 1.1^{0.1} < 1.1^{0.3}$。

通法：比大小先分三堆——大于 1 的、等于 1 的、小于 1 的。 同堆内再按单调性排。这一招对比任何幂、指、对数混合的比大小题都通用，不需要具体计算。

在高中数学体系里的位置

• 指数函数与对数函数（第十一、十二讲）是幂函数的"近亲"，三者合称基本初等函数。三者的图象、单调性、比大小套路是同一个模子。
• 不等式专题的基本不等式，本质上是"幂函数平均"的比较：算术平均 ≥ 几何平均，就是 $x^\frac{1}{1}$ 与 $x$ 的比较。
• 数列里的等差、等比，就是幂函数在整数点的取值。
• 导数（另一专题）：$y = x^{\alpha}$ 的导数是 $\alpha x^{\alpha - 1}$，一条公式管所有幂函数。

思考与拓展

1. 比较大小：$0.3^{0.2}$ 与 $0.3^{0.5}$。
2. 比较大小：$1.5^{0.3}$、$0.8^{1.2}$、$1$。
3. $y = x^{\frac{2}{3}}$ 的定义域和值域分别是什么？它是奇函数还是偶函数？
4. 若幂函数 $f(x)$ 的图象过点 $(4, 2)$，求 $f(x)$ 的解析式。

高考母题

（2025·上海） 幂函数 $y=x^{a}$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上是严格减函数，且经过 $\left(-1,-1\right)$，则 $a$ 的值可能是（ ）

A．$-\dfrac23$　　B．$-\dfrac13$　　C．$\dfrac13$　　D．$3$

展开详解

答案：B

两个条件，逐个筛。

条件一：在 $\left(0,+\infty\right)$ 上严格递减。

幂函数 $y=x^{a}$ 在第一象限的形状完全由 $a$ 的符号决定：$a>0$ 时递增，$a<0$ 时递减。题目要递减，所以：

$$a<0$$

C（$\dfrac13$）和 D（$3$）都是正的，出局。这一步把四个选项砍成两个。

条件二：经过 $\left(-1,-1\right)$。 剩下 A 和 B，代进去看。

先试 A，$a=-\dfrac23$：

$$(-1)^{-\frac23}=\frac{1}{(-1)^{\frac23}}=\frac{1}{\sqrt[3]{(-1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{1}}=1$$

得到的是 1，不是 $-1$。所以 $y=x^{-2/3}$ 过的是 $\left(-1,1\right)$，A 出局。

再试 B，$a=-\dfrac13$：

$$(-1)^{-\frac13}=\frac{1}{(-1)^{\frac13}}=\frac{1}{-1}=-1$$

得到 $-1$，正是题目要的点。B 正确。

这道题在考什么： 本讲讲"五种形状一张图记牢"，这里正好用上——$a$ 的正负决定增减方向，$a$ 的具体值决定曲线弯成什么样。

更深的层次：$a$ 的分母奇偶决定了函数在负半轴有没有定义、取正值还是负值。$-\dfrac13$ 分母是 3（奇），$\sqrt[3]{-1}=-1$ 有意义；$-\dfrac23$ 分母虽然也是 3，但指数部分 $\dfrac23$ 里有个平方——$\left(-1\right)^{2}=1$ 把负号吃掉了，最后得正。这就是 A、B 分野的关键。

易错点： 只代正数试，或者凭"分数指数幂"的印象瞎猜。这题的两个条件都指向一个办法：把选项代进去算。四个选项、两个条件，代两次就出来了——比空想快得多。

一句话总结

幂函数是底数变指数不变；五种形状认图形，关键在 $x<1$ 时幂次大小排序会反转；比大小先分"大于1/等于1/小于1"三堆，同堆按单调性排。