周期性与对称性——重复出现与镜像反射

轴对称加中心对称，推出函数有周期

先分清"重复"和"镜像"

周期和对称是两个方向的性质，放在一讲是因为它们总在高考里结伴出现。

周期说的是：函数图象每隔一段就重复一次。 $y = \sin x$ 每隔 $2\pi$ 重复一次，所以 $2\pi$ 是它的周期。

对称说的是：函数图象沿某条线折过来跟自己重合。 $y = x^2$ 沿 $y$ 轴折过来重合，$y$ 轴是它的对称轴。

为什么把它俩放一讲？因为高考压轴题特别爱考这种组合："函数有一条对称轴 $x = a$，同时有一个周期 $T$，求证它还有另一条对称轴 $x = a + \dfrac{T}{2}$。" 单懂一个都不够。

周期的严格定义

设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，如果存在一个非零常数 $T$，使得当 $x$ 取定义域内的每一个值时，都有

$$f(x + T) = f(x)$$

那么函数 $f(x)$ 就叫做周期函数，非零常数 $T$ 叫做这个函数的一个周期。

定义里三个字要抠：

「非零常数」——$T = 0$ 满足 $f(x) = f(x)$ 但毫无意义，排除掉。

「每一个值」——不能只试几个点。对某个 $x$ 成立不代表是周期，必须全域成立。

「一个周期」——注意量词。周期函数有无穷多个周期。如果 $T$ 是周期，那么 $2T$、$3T$、$-T$ 全都是。

所以"求周期"这类题，标准答案必须是最小正周期，而且不写"最小正"就是错的。$\sin x$ 的周期有无穷多个，最小正周期是 $2\pi$。

求周期的三个办法

办法一：定义法——硬凑

已知 $f(x + 2) = -f(x)$，求周期。

把 $x$ 换成 $x + 2$：

$$f(x + 4) = -f(x + 2) = -(-f(x)) = f(x)$$

所以 $4$ 是它的一个周期。

这一招是所有周期题的基本功：式子给了 $f(x+T)$ 与 $f(x)$ 的关系，就再推一步看能不能绕回 $f(x)$。绕得回来，中间那段间距就是周期。

办法二：公式法——背结论

• $y = \sin x$、$\cos x$：$T = 2\pi$
• $y = \tan x$：$T = \pi$
• $y = A\sin(\omega x + \varphi)$：$T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$

第三条最常用。注意 $|\omega|$ 取绝对值——$\omega$ 为负时周期仍然是正的。

$y = \sin 3x$ 周期是 $\dfrac{2\pi}{3}$，$y = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$ 周期是 $4\pi$。

办法三：图象法——看间隔

画出来，量两次"形状完全重复"之间的水平距离。这是最直观的，缺点是不够精确，只能用于已知函数形状清楚的场合。

对称的三种形式

对称是个大概念，高中涉及三种，必须分得清。

轴对称：沿一条竖直线 $x = a$ 折过来重合。代数形式：

$$f(a + x) = f(a - x) \qquad \text{（关于 } x = a \text{ 对称）}$$

中心对称：沿一个点 $(a, b)$ 旋转 $180^\circ$ 重合。代数形式：

$$f(a + x) + f(a - x) = 2b \qquad \text{（关于点 } (a,b) \text{ 对称）}$$

函数奇偶性是这两者的特例：

• 关于 $y$ 轴对称 = 关于 $x = 0$ 对称 = $f(x) = f(-x)$，即偶函数。
• 关于原点对称 = 关于点 $(0, 0)$ 中心对称 = $f(x) + f(-x) = 0$，即奇函数。

第八讲讲的是 $a = 0$ 的情形，这一讲讲 $a \ne 0$ 的一般情形。

核心定理：周期与对称互相推导

这是本节的重头，也是高考压轴的高频工具。

定理一：一个周期 + 一条对称轴 → 第二条对称轴

设 $f(x)$ 的周期为 $T$，且关于 $x = a$ 对称，则它关于 $x = a + \dfrac{T}{2}$ 也对称。

证明：

关于 $x = a$ 对称，即对任意 $x$：

$$f(a + x) = f(a - x)$$

要证关于 $x = a + \dfrac{T}{2}$ 对称，即证 $f\left(a + \dfrac{T}{2} + x\right) = f\left(a + \dfrac{T}{2} - x\right)$。

看左边。利用周期 $T$，把 $x$ 平移 $T$：

$$f\left(a + \frac{T}{2} + x\right) = f\left(a + \frac{T}{2} + x - T\right) = f\left(a - \frac{T}{2} + x\right)$$

现在用关于 $x = a$ 的对称性。令 $a - \dfrac{T}{2} + x = a - u$，则 $u = \dfrac{T}{2} - x$，于是 $a + u = a + \dfrac{T}{2} + x$。由对称性 $f(a - u) = f(a + u)$，即：

$$f\left(a - \frac{T}{2} + x\right) = f\left(a + \frac{T}{2} - x\right)$$

结合两步，$f\left(a + \dfrac{T}{2} + x\right) = f\left(a + \dfrac{T}{2} - x\right)$，证毕。

这个证明的手法是"周期把远处搬近，对称把近处换到对面"，两步一组合，结论就出来了。高考证明题十有八九是这个套路。

定理二：两条对称轴 → 周期

设 $f(x)$ 关于 $x = a$ 和 $x = b$ 都对称（$a \ne b$），则 $2|a - b|$ 是它的一个周期。

这条是定理一的逆命题，证明方向反过来：先用一条对称轴换符号，再用另一条换回来，中间搬运的距离就是周期。

定理三：一个对称中心 + 一条对称轴 → 另一个对称中心

$$f(a + x) + f(a - x) = 2b \ \text{且周期为}\ T \implies \text{关于}\ \left(a + \frac{T}{2},\, b\right)\ \text{对称}$$

三条定理本质是同一件事：周期是"搬运工具"，对称是"换符号工具"，两者一组合就能从一个已知对称推出另一个。

一个必须记住的组合

奇函数（关于原点中心对称）+ 周期 $T$ ⟹ 关于 $\left(\dfrac{T}{2}, 0\right)$ 中心对称。

由定理三，取 $a = 0$、$b = 0$：关于 $(0,0)$ 对称且周期 $T$，则关于 $\left(\dfrac{T}{2}, 0\right)$ 也对称。

偶函数（关于 $y$ 轴对称）+ 周期 $T$ ⟹ 关于 $x = \dfrac{T}{2}$ 轴对称。

同理。

所以 $y = \sin x$（奇函数，周期 $2\pi$）关于 $(\pi, 0)$ 中心对称——验算：$\sin(\pi + x) = -\sin x$，$\sin(\pi - x) = \sin x$，两者相加为 0，确实关于 $(\pi, 0)$ 对称。

这个组合直接背下来，考试时能省一整道证明题。

在高中数学体系里的位置

• 奇偶性（第八讲）是本讲 $a = 0$ 的特例，两讲的代数形式互为推广。
• 三角函数（另一专题）：周期与对称的主战场，$\sin x$、$\cos x$ 的对称轴和对称中心是必考内容。
• 抽象函数（第三讲）："$f(x) = f(2 - x)$ 且 $f(x+1)$ 是奇函数，求证 $f$ 周期为 4"这类题，本讲三条定理是标准解法。
• 数列（另一专题）也有周期性，判据一样：$a_{n+T} = a_n$。

思考与拓展

1. 已知 $f(x + 1) = -f(x)$，求 $f$ 的一个周期。
2. $y = 2\sin\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ 的最小正周期是多少？
3. 求证：若 $f(x)$ 关于 $x = 1$ 和 $x = 3$ 都对称，则 $T = 4$ 是它的一个周期。
4. 已知 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(x + 2) = f(x)$，求证 $f$ 关于点 $(1, 0)$ 中心对称。

高考母题

（2024·新课标Ⅱ卷·多选） 设函数 $f(x)=2x^{3}-3ax^{2}+1$，则（ ）

A．当 $a>1$ 时，$f(x)$ 有三个零点

B．当　　　　时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点

C．存在 $a,b$，使得 $x=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称轴

D．存在 $a$，使得点 $\left(1,f(1)\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心

说明： 原题 B 选项的条件在题库里缺失（"当　　　时"）。本题答案为 A、D，B 本就不选，不影响解题；此处按原样保留，并说明缺漏。

展开详解

答案：A、D

这是一道多选，四个选项各自独立。核心工具只有一个：导数。

$$f'(x)=6x^{2}-6ax=6x(x-a)$$

A：当 $a>1$ 时有三个零点。

$f'(x)=0$ 的两根是 $0$ 和 $a$。$a>1$ 时，符号排布是：$x<0$ 正、$0<x<a$ 负、$x>a$ 正。所以 $x=0$ 是极大值点，$x=a$ 是极小值点。看这两个极值的符号：

$$f(0)=1>0,\quad f(a)=1-a^{3}<0$$

极大值为正、极小值为负——函数从正冲到更高，掉下来穿过零，继续掉到负，再起来穿过零。直觉上就该有 3 个零点。严格找：取 $x=-1$ 得 $f(-1)=-1-3a<0$，取 $x=2a$ 得 $f(2a)=4a^{3}+1>0$：

$$f(-1)<0,\ f(0)>0\ \Rightarrow\ (-1,0)\text{ 有一个零点}$$ $$f(0)>0,\ f(a)<0\ \Rightarrow\ (0,a)\text{ 有一个零点}$$ $$f(a)<0,\ f(2a)>0\ \Rightarrow\ (a,2a)\text{ 有一个零点}$$

三处各一个，共三个。A 正确。

B：$x=0$ 是不是极大值点，要看 $a$ 的符号。

$a>0$ 时，左边正右边负，$x=0$ 是极大值（就是 A 里那个）。但 $a<0$ 时符号反过来：$x<a$ 正、$a<x<0$ 负、$x>0$ 正——右边负左边正，$x=0$ 成了极小值点。

所以"$x=0$ 是极大值点"只在 $a>0$ 时成立，不是一个恒真的命题（题目 B 的条件正好缺失，但无论那个条件是什么，只要它没说 $a>0$，B 就不成立）。B 错误。

C：三次函数有没有对称轴？

假设有，即 $f(x)=f(2b-x)$ 对一切 $x$ 成立。看等式两边 $x^{3}$ 的系数：

左边是 $2x^{3}$。右边 $(2b-x)^{3}$ 展开后 $x^{3}$ 项是 $(2b-x)^{3}=\cdots+(-x)^{3}=-x^{3}$，乘上系数 2 得 $-2x^{3}$。

$$2x^{3}\stackrel{?}{=}-2x^{3}$$

除非 $x\equiv0$，否则不可能恒等。三次函数没有对称轴，C 错误。

（为什么？因为 $y=x^{3}$ 这一类函数关于原点中心对称，而不是轴对称。次数为奇的函数天然是中心对称的。）

D：有没有对称中心？

三次函数确实有一个对称中心——那就是拐点。

$$f''(x)=12x-6a=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac a2$$

拐点在 $\left(\dfrac a2,\ f\left(\dfrac a2\right)\right)$。题目问的是点 $\left(1,f(1)\right)$，那就要求横坐标等于 1：

$$\frac a2=1\quad\Longrightarrow\quad a=2$$

$a=2$ 时拐点横坐标正是 1。存在这样的 $a$（就是 2），D 正确。

这道题在考什么： 本讲讲"重复出现与镜像反射"。这里给出一个重要结论：三次函数没有对称轴，但一定有一个对称中心（拐点）。这与"二次函数有对称轴无对称中心"正好对偶，合起来是"二次轴对称、三次中心对称"的规律。

易错点： C、D 容易被一起想错。记住区分：偶函数的图象是轴对称，奇函数的图象是中心对称。三次函数 $2x^{3}-3ax^{2}+1$ 里那个 $x^{2}$ 项破坏了奇性，所以对称中心不在原点，但仍然存在（在拐点处）。

一句话总结

周期是搬运工具，对称是换符号工具，两者组合就能"由一推二"：一个周期加一条对称轴必得半周期处的第二条对称轴；奇函数加周期 T 必关于 $(\frac{T}{2}, 0)$ 中心对称。