奇偶性——对称还是反对称

奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称

一句能省三分钟的话

判断函数奇偶性，第一步永远是看定义域是否关于原点对称。

不对称，直接判定"非奇非偶"，一秒都不用多想。

$f(x) = x^2$，定义域 $[0, 1]$——不关于原点对称，非奇非偶。$f(x) = x$，定义域 $\mathbb{R}$——对称，是奇函数。

为什么这条这么重要？因为奇偶性本质上是对称性，而对称性要求两边都在。 定义域砍掉了左半边，右半边再对称也没有意义。

标准题型：$f(x) = x^2 + 1$，定义域 $[-2, 2]$——偶函数。改成 $[0, 2]$——非奇非偶。同一个式子，定义域一改，结论就翻。

另外一条顺带的技巧：已知定义域关于原点对称，且函数既奇又偶，那它只能是 $f(x) = 0$（且仅在对称定义域上）。因为 $f(-x) = -f(x)$ 且 $f(-x) = f(x)$，两式相减得 $2f(x) = 0$。这个结论看起来很平凡，但在填空题里能直接当答案用。

两个定义

偶函数：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内任意一个 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$，那么 $f(x)$ 叫做偶函数。

奇函数：如果对于定义域 $I$ 内任意一个 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$，那么 $f(x)$ 叫做奇函数。

定义的要点全在"任意一个 $x$"这四个字——不是代一个幸运值验证一下就行，必须对定义域里每一个 $x$ 成立。

注意定义里隐含了一个条件：$-x$ 也必须落在定义域里，否则 $f(-x)$ 没有意义。所以定义域关于原点对称这件事，其实是从定义里推出来的——先检查定义域，本质是在验证定义能不能用。

图象特征：两种对称

这是最直观的判据，也最容易被粗糙地记。

偶函数 ⟺ 图象关于 $y$ 轴对称。

$y = x^2$、$y = |x|$、$y = \cos x$ 都是偶函数，图象左右两边互为镜像。

奇函数 ⟺ 图象关于原点对称。

$y = x^3$、$y = \sin x$、$y = \tan x$ 都是奇函数，图象旋转 $180^\circ$ 后跟自己重合。

注意："关于原点对称"不是"关于 $y$ 轴对称"翻过来。 有些同学把奇函数说成"翻折后重合"，错了。奇函数是旋转 $180^\circ$ 重合，偶函数是镜像重合。

运算规律：一张必须记住的表

设 $f(x)$、$g(x)$ 的公共定义域关于原点对称：

运算	奇偶性
奇 + 奇	奇
偶 + 偶	偶
奇 + 偶	非奇非偶（一般）
奇 × 奇	偶
偶 × 偶	偶
奇 × 偶	奇
奇 ÷ 奇	偶
奇 ÷ 偶	奇

规律可以概括成一句话：把奇函数当成"$-1$"、偶函数当成"$+1$"，加减法按加法算，乘除法按乘法算。

"奇 + 偶"为什么是一般非奇非偶？$f(x) = x + x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上，$f(-x) = -x + x^2$，既不等于 $f(x)$ 也不等于 $-f(x)$。

不过有例外：若 $f(x) = 0$ 且 $g(x) = 0$，那它既奇又偶。这种退化情形高考不考，但你要知道"非奇非偶"是一个判断，不是包袱。

乘除法那条规律在考试里回报最高。 问你 $y = x \sin x$ 奇偶性，奇 × 偶 = 奇，直接答。问你 $y = \dfrac{\sin x}{x}$，奇 ÷ 奇 = 偶，也直接答。

判断奇偶性的标准四步

拿到一个函数，问奇偶性，按这四步走：

第一步：看定义域。 不关于原点对称 → 非奇非偶，结束。

第二步：算 $f(-x)$。 把每个 $x$ 换成 $-x$，化简。

第三步：比对。 看 $f(-x)$ 等于 $f(x)$、$-f(x)$、还是都不是。

第四步：下结论。 偶函数、奇函数、非奇非偶，三选一。

看两个例子。

例 1：$f(x) = x^3 + x$。

定义域 $\mathbb{R}$，对称。

$f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)$。

奇函数。

例 2：$f(x) = x^2 + 1$，定义域 $[-1, 1]$。

对称。$f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = f(x)$。偶函数。

例 3：$f(x) = x^3 + x^2$，定义域 $\mathbb{R}$。

$f(-x) = -x^3 + x^2$。既不等于 $f(x)$ 也不等于 $-f(x)$。非奇非偶。

第三步的化简要用干净。$f(-x)$ 算出来是一坨没法比的式子，多半是还没化完。

奇偶性的最大用处：半区间定全局

这是奇偶性在考试里最值钱的地方。

已知 $f(x)$ 是奇函数，且 $x > 0$ 时 $f(x) = x^2 + 1$，求 $f(-2)$。

$f(-2) = -f(2) = -(4 + 1) = -5$。

已知 $f(x)$ 是偶函数，且 $x > 0$ 时 $f(x) = x^2 + 1$，求 $f(-2)$。

$f(-2) = f(2) = 5$。

负号一进一出，答案就定了。 这类题在高考填空选择里年年有，本质是在考你有没有把定义用熟。

另一类进阶用法在不等式里：已知 $f(x)$ 是奇函数且在 $\mathbb{R}$ 上递增，$f(2a - 1) < -f(a)$。右边 $= -f(a) = f(-a)$，所以 $f(2a-1) < f(-a)$，用递增性去掉 $f$：$2a - 1 < -a$，得 $a < \dfrac{1}{3}$。

"把负号塞进括号里"这一步，是奇函数在不等式题里的标准动作。 看到 $-f(\text{什么})$，第一反应就该是 $f(-\text{什么})$。

在高中数学体系里的位置

• 单调性（第六讲）加奇偶性，能解抽象函数不等式——把 $f$ 去掉变成自变量比大小。
• 周期性（第九讲）与奇偶性组合出"半周期"对称：奇函数满足 $f(x) = -f(-x)$，若再有周期 $T$，则 $f(x) = -f(x-T)$，对称轴和对称中心交替出现。
• 对称性（第九讲）是奇偶性的推广：关于原点对称是 $f(x) = -f(-x)$，关于点 $(a, b)$ 对称是 $f(x) = 2b - f(2a - x)$。
• 图象变换（第五讲）：关于 $y$ 轴对称就是 $x \to -x$，关于原点对称是同时变号。

思考与拓展

1. 判断下列函数的奇偶性： (1) $f(x) = x^3 - x$；(2) $f(x) = x^2 + 1$（定义域 $[0, 2]$）；(3) $f(x) = x \sin x$。
2. 已知 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数，判断 $f(x)g(x)$ 的奇偶性。
3. 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $x > 0$ 时 $f(x) = \ln x$，求 $f(-e)$。
4. 若函数 $f(x)$ 既是奇函数又是偶函数，且定义域关于原点对称，$f(x)$ 等于什么？

高考母题

（2017·北京） 已知函数 $f(x)=3^{x}-\left(\dfrac13\right)^{x}$，则 $f(x)$（ ）

A．是奇函数，且在 $\mathbf{R}$ 上是增函数

B．是偶函数，且在 $\mathbf{R}$ 上是增函数

C．是奇函数，且在 $\mathbf{R}$ 上是减函数

D．是偶函数，且在 $\mathbf{R}$ 上是减函数

展开详解

答案：A

第一步，定义域。 $3^{x}$ 和 $\left(\dfrac13\right)^{x}$ 对一切实数都有意义，定义域是 $\mathbf{R}$，关于原点对称。可以谈奇偶。

第二步，代 $-x$：

$$f(-x)=3^{-x}-\left(\frac13\right)^{-x}$$

注意 $\left(\dfrac13\right)^{-x}=3^{x}$（负指数是倒数）：

$$f(-x)=3^{-x}-3^{x}=-(3^{x}-3^{-x})=-f(x)$$

是奇函数。B、D 出局。

第三步，单调性。 把 $\left(\dfrac13\right)^{x}$ 改写成 $3^{-x}$，看得更清楚：

$$f(x)=3^{x}-3^{-x}$$

两个部件：$y=3^{x}$ 递增，$y=-3^{-x}$ 呢？$3^{-x}$ 递减，前面加负号就变递增。

增函数减增函数不能直接判，但这里拆开看是"增函数 + 增函数"：

$$f(x)=3^{x}+\left(-3^{-x}\right)$$

两项都递增，和递增。

所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数。奇函数 + 增函数，选 A。

这道题在考什么： 正是本讲的判定顺序——定义域先行。定义域不对称（比如 $f(x)=x^{2}$ 定义域给成 $[0,1]$）就直接非奇非偶，一秒都不用多想。

易错点： 有人一看 $3^{x}-\left(\dfrac13\right)^{x}$ 觉得"一个减一个增，判不出来"就跳过。诀窍是先把 $\left(\dfrac13\right)^{x}$ 化成 $3^{-x}$，统一成同底，两个部件的增减就都清楚了。这道题里同底之后一眼能看出两项都是增的。

一句话总结

奇偶性第一步查定义域对称，不对称直接非奇非偶；运算记"奇 = -1、偶 = +1"；最值钱的用法是"负号塞进括号"——$f(-a)$ 与 $-f(a)$ 一秒互化。