最大值与最小值——局部的峰，全局的顶

极大值是局部峰，最大值要把端点拉进来比

山顶和山峰

先看一个比喻，它比定义更能防错。

一座山脉里有无数的山峰和山谷。每一个山谷都是"局部的低点"——站在谷底往四周看，都比自己高。但整条山脉最深的地方可能不在任何谷底，而在一条裂缝里。

数学里，局部的高点叫极大值，全局的最高叫最大值。 它们不是一回事，而且最大值可以根本不存在。

看 $y = x^2$ 在 $(0, 1)$ 上。它一路递增，$x$ 越接近 1 函数值越大——可 $x = 1$ 不在定义域里！所以这个函数在 $(0, 1)$ 上没有最大值。

这个"差一点就摸到"的情形，高中年年考，而且是最容易被"经验"误导的地方。定义写得非常小心，就是为了堵这个漏洞。

两个定义的精确表述

设函数 $y = f(x)$ 在区间 $D$ 上有定义。

最大值：如果存在 $x_0 \in D$，使得对于任意 $x \in D$，都有 $f(x) \le f(x_0)$，那么 $f(x_0)$ 叫做函数在 $D$ 上的最大值。

最小值：同理，若对任意 $x \in D$ 都有 $f(x) \ge f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 是最小值。

注意这句话的要害："对于任意 $x \in D$"。这意味着那个"顶点"必须在定义域里，而且能管住整个定义域。

$y = x^2$ 在 $(0,1)$ 上为什么没有最大值？因为不存在任何一个 $x_0 \in (0,1)$，能让所有 $x \in (0,1)$ 都满足 $f(x) \le f(x_0)$。任取一个 $x_0$，总能找到更接近 1 的 $x$ 使得 $f(x)$ 更大。

而如果定义域改成 $[0, 1]$，最大值就是 $f(1) = 1$。开闭区间，差一个字，结论完全不同。

极大值与最大值的区别

这是高中最容易被含糊过去的一组概念。

极大值：设 $x_0 \in D$，如果存在一个含 $x_0$ 的开区间，使得对于这个区间里的所有 $x$（除 $x_0$ 外），都有 $f(x) < f(x_0)$，那么 $f(x_0)$ 是极大值。

看出差别了吗？

1. 比较范围不同。 最大值跟"整个定义域"比；极大值只跟 $x_0$ 旁边那一小段比。
2. 唯一性不同。 最大值如果有，只有一个。极大值可以有很多个——一条波浪线有无数的峰。
3. 存在性不同。 最大值可以不存在（$y = x$ 在 $\mathbb{R}$ 上，$y = 1/x$ 在 $(0,1)$ 上）。极大值只要函数有波动就有。

最关键的一条推论：极大值不一定是最大值。

经典反例：

$$f(x) = -x^2 + 2x, \quad x \in [0, 3]$$

配方：$f(x) = -(x-1)^2 + 1$。$x = 1$ 处取到极大值 1，可端点 $x = 3$ 处 $f(3) = -9 + 6 = -3$……

这个例子方向错了，换一个真正说明问题的。

$$f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1 \\ 2 - x, & 1 \le x \le 3 \end{cases}$$

$x = 1$ 处 $f(1) = 1$，是极大值。可 $x = 3$ 处 $f(3) = -1$，$x = 0$ 处 $f(0) = 0$。这个例子里极大值恰好也是最大值。

换一个真正反过来的：

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x < 2 \\ 5, & x = 2 \\ 4 - x, & 2 < x \le 4 \end{cases}$$

$x = 2$ 处函数值 5，是最大值。但 $x = 0.5$ 附近呢？$x \to 2^-$ 时 $f(x) \to 4$，是个"半山腰的内部波峰"，$f(2) = 5$ 比它高。

这个例子构造痕迹太重。说一个简单且年年考的真实场景：

$$f(x) = \dfrac{1}{x}, \quad x \in (0, 1)$$

单调递减。$x \to 0^+$ 时 $f(x) \to +\infty$，永远达不到；$x \to 1^-$ 时 $f(x) \to 1$，也达不到。这个函数在 $(0,1)$ 上既无最大值也无最小值。

四个概念（最大/最小/极大/极小）的关系，一句话总结：最大值是"全班第一",极大值是"小组第一"。小组第一可能好几个，全班第一只能有一个，而且可能一个都没有。

闭区间上求最值的标准流程

高考最常考的是：$f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，求最值。流程固定，没有技巧，就是比大小。

$$f(x) = x^3 - 3x, \quad x \in \left[-\frac{3}{2}, 2\right]$$

第一步：求导数找驻点。

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$$

令 $f'(x) = 0$，得 $x = -1$ 或 $x = 1$。两个都在区间内，保留。

第二步：算三类点的函数值——两个端点、所有驻点。

• 端点 $x = -\dfrac{3}{2}$：$f\left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{27}{8} + \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{8}$
• 驻点 $x = -1$：$f(-1) = -1 + 3 = 2$
• 驻点 $x = 1$：$f(1) = 1 - 3 = -2$
• 端点 $x = 2$：$f(2) = 8 - 6 = 2$

第三步：比大小。

最大的是 2（在 $x = -1$ 和 $x = 2$ 两处取到），最小的是 $-2$（在 $x = 1$ 处）。

所以最大值 $2$，最小值 $-2$。

注意"最大"可以在两个点取到——这不违反唯一性，唯一性说的是"最大值这个数"只有一个，不是"取到的点"只有一个。

没有导数怎么办

如果题目不给可导条件，或者还没学导数，办法有三：

画图。 把函数在区间上的形状画出来，最高最低一眼看得出。这条最不可靠，只能给答案不能给证明。

利用单调性。 证出函数在区间上单调递增，那左端最小、右端最大。这是最常用的替代方案。

利用已知结论。 二次函数在闭区间上的最值：顶点、两个端点，三者比大小。这一条不靠导数，纯代数就能做，而且高考填空题极爱考。

在高中数学体系里的位置

• 单调性（第六讲）是求最值的主要替代工具：不会导数，就证单调。
• 基本不等式（不等式专题）是求最值的另一条路：和定积最大、积定和最小。
• 恒成立问题（导数专题）:f(x) \le a 恒成立 ⟺ $f(x)_{\max} \le a$。最值是恒成立问题的接口。
• 实际应用：用料最省、利润最大、容积最大，全部归结为"定义域内求最值"，其中"定义域"常是实际意义给的，第二讲的话在这里兑现。

思考与拓展

1. $f(x) = x^2 - 4x$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值分别是多少？
2. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上有最大值吗？在 $[1, 2]$ 上呢？
3. $f(x) = x^3 - 3x^2$ 在 $[-1, 4]$ 上求最值。（提示：先求驻点）
4. 用一段长为 $L$ 的篱笆靠墙围矩形院子（墙足够长，用三面），问怎样围面积最大？最大面积是多少？

高考母题

（2017·浙江） 若函数 $f(x)=x^{2}+ax+b$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值是 $M$，最小值是 $m$，则 $M-m$ 的值（ ）

A．与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关

B．与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关

C．与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关

D．与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关

展开详解

答案：B

这题看着要算，其实一步都不用算。

最大值和最小值只可能在三个地方取：

$$f(0)=b,\quad f(1)=1+a+b,\quad f\left(-\frac a2\right)=b-\frac{a^{2}}{4}$$

看这三个值的结构——每一个都带一个 $b$。所以无论最大值取到哪一个、最小值取到哪一个，作差的时候 $b$ 一定被减掉：

$$M-m=\bigl(\text{某含 }b\text{ 的式子}\bigr)-\bigl(\text{另一个含 }b\text{ 的式子}\bigr)$$

$b$ 消失。所以 $M-m$ 与 $b$ 无关。

而 $a$ 会不会影响？会。因为 $a$ 决定了对称轴 $x=-\dfrac a2$ 落在 $[0,1]$ 里边还是外头——最大值在哪里取，取决于这个位置。所以 $M-m$ 与 $a$ 有关。

与 $a$ 有关、与 $b$ 无关，选 B。

这道题在考什么： 正是本讲的"局部的峰，全局的顶"——但角度反过来：不问最大值是多少，而是问"最大值减最小值"这个差依赖什么。

二次函数在闭区间上的最值，永远是"端点 + 顶点"这几个候选点里挑。而 $b$ 只是把整条曲线上下平移，平移不改变峰谷之差——这是"与 $b$ 无关"的几何含义。

易错点： 见到题就分"对称轴在区间内/左/右"三种情形讨论，能讨论出来但费时间。这题问的是依赖性，只要看出三个候选值都含 $b$ 就收工。先看题在问什么，再决定算多深。

一句话总结

最大值是全局的、极大值是局部的，全局第一可以不存在；闭区间求最值就三步——求驻点、算端点和驻点的函数值、比大小。