单调性——函数的第一个性质

任取、作差、判号——单调性证明的三步骨架

从"涨"到"严格涨"

"函数在涨"这句话人人会说，可它一旦写进证明，就必须先被严格定义。

日常说的"涨"有两种：有的是"允许原地踏步的涨"，有的是"必须一步比一步高的涨"。数学只取后者。

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内某个区间 $D$ 上的任意两个自变量的值 $x_1$、$x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，那么就说函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是增函数。

这句话拆开有四个字要花钱：

「任意两个」——不是随便试两个、不是"看起来"，是任取。取一对特殊的数验证了，只能说明"这两个数符合"，不能推广到整个区间。

「当 $x_1 < x_2$ 时」——先决条件，两个自变量有大小关系。

「都有 $f(x_1) < f(x_2)$」——函数值的大小关系必须和自变量的同向。注意这里是严格小于，所以定义出来的是严格增函数。如果改成 $f(x_1) \le f(x_2)$，就是非严格增（允许相等），高中默认讲严格增，用"增函数"这个词。

「区间 $D$」——单调性永远是局部的。说"这个函数单调递增"不完整，必须说"在哪个区间上递增"。

最后这四个字是重点，单独说一节。

单调性是局部的，不是全局的

一个函数可以在一个区间递增、在另一个区间递减。

$y = x^2$：在 $(-\infty, 0]$ 上递减，在 $[0, +\infty)$ 上递增。在 $x = 0$ 处转过身来，所以它在整个 $\mathbb{R}$ 上没有单调性——任取 $x_1 = -1 < x_2 = 1$，有 $f(-1) = 1 > 1 = f(1)$，增函数的定义被否定了。

所以"求函数的单调区间"这类题，答案必须是若干个区间的并，且要一个一个写清楚。 常见错误是把 $(-\infty, 0]$ 和 $[0, +\infty)$ 写成 $(-\infty, 0] \cup [0, +\infty)$ 然后宣称"递增"——并集是 $\mathbb{R}$，而这个函数在 $\mathbb{R}$ 上不递增。

还有一个细节：区间的端点开闭。$y = \dfrac{1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 和 $(-\infty, 0)$ 上分别递减，但在 $(0, +\infty)$ 里取 $x_1 = 1$、在 $(-\infty, 0)$ 里取 $x_2 = -1$，$x_1 > x_2$ 而 $f(x_1) = 1 > -1 = f(x_2)$——增函数要求 $x_1 < x_2$ 时有 $f(x_1) < f(x_2)$，这里自变量就不好比了，因为两段不连通。单调区间必须分开写，不能在中间用"或"连接起来当成一个区间。

证明单调性的标准三步

"任取 $x_1 < x_2$，作差 $f(x_1) - f(x_2)$，变形判符号"——这三步是骨架，几乎所有证明题都是它的填充。

拿一个典型例子走一遍完整流程。

例：证明 $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减。

第一步，任取。设 $x_1, x_2 \in (0, 1)$，且 $x_1 < x_2$。

第二步，作差。

$$f(x_1) - f(x_2) = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) - \left(x_2 + \frac{1}{x_2}\right) = (x_1 - x_2) + \left(\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}\right)$$

第三步，变形与判符号。第一项 $x_1 - x_2 < 0$ 已经知道。第二项通分：

$$\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$$

因为 $x_2 > x_1 > 0$，所以 $x_2 - x_1 > 0$、$x_1 x_2 > 0$，第二项大于零。

两项一正一负，谁大？这正是这类题的难点——不能凭感觉，必须把差化成乘积形式再判。

把两项合起来：

$$f(x_1) - f(x_2) = (x_1 - x_2) + \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} = (x_1 - x_2)\left(1 - \frac{1}{x_1 x_2}\right)$$

注意这里用了 $x_2 - x_1 = -(x_1 - x_2)$。现在看第二个因子的符号：$x_1, x_2 \in (0, 1)$，所以 $x_1 x_2 < 1$，于是 $\dfrac{1}{x_1 x_2} > 1$，于是 $1 - \dfrac{1}{x_1 x_2} < 0$。

第一个因子 $x_1 - x_2 < 0$，第二个因子也为负，乘积为正。

所以 $f(x_1) - f(x_2) > 0$，即 $f(x_1) > f(x_2)$。由 $x_1 < x_2$ 推出 $f(x_1) > f(x_2)$，函数值反向变动，证明 $f(x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减。

回头看这个证明，三步各自的门道：

任取时不要忘了写"且 $x_1 < x_2$"，这是后面所有符号判断的源头。

作差时把差式整理成"能因式分解的样子"，不要停在加法形式——加法形式下一正一负没法判。

判符号时把每个因子的符号来源写出来，不能跳步。上面这个证明里"$x_1 x_2 < 1$"是从哪来的？从 $x_1 < 1$ 且 $x_2 < 1$ 且都是正数来的。这三步里最常丢分的地方，就是符号判断跳步。

变形判符号：一生的战场

作差判符号是单调性证明的核心，也是最难的一步。它要求你把差式变成"每个因子的符号一眼可判"的形式。

常用变形手法有这么几样：

通分 —— 把分式差化成一个分式，看分子的符号。

因式分解 —— 把差式拆成若干因子的乘积，逐个判。

配方 —— 把差式凑成完全平方加常数的形式。

分子有理化 —— 遇到根号差，乘以共轭。比如 $\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}$ 乘 $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ 得 $x_1 - x_2$，根号就没了。

这四样没有万能配方，只有多练。练习题里第二、三题就是练这个的。

复合函数的单调性：同增异减

$y = f(g(x))$ 的单调性有一条口诀：内外单调性相同，复合后递增；内外单调性不同，复合后递减。

记住它靠一个例子就够：$y = (x^2 - 1)^2$。

• $x \in (-\infty, 0)$：外层 $u^2$ 在 $u > 0$ 时递增，内层 $x^2 - 1$ 在 $x < 0$ 时递减，一增一减 → 复合后递减。
• $x \in (0, +\infty)$：外层递增、内层递增 → 复合后递增。

注意这条口诀的前提是"在同一个区间上讨论"。 内层换区间、外层换区间，结论都可能变。所以用这条口诀前，先把 $u = g(x)$ 的取值范围圈出来，再判断外层在那个范围上的单调性。

在高中数学体系里的位置

• 最值（第七讲）靠单调性：递增区间左端最小、右端最大。
• 奇偶性（第八讲）的判定不需要单调性，但奇偶性加单调性一起，能解抽象函数不等式。
• 函数与方程（第十讲）用单调性判零点唯一。
• 导数（另一专题）是求单调性的快车道：$f'(x) > 0$ 则递增。但定义法证明仍然是基本功，抽象函数只能用定义。

思考与拓展

1. 用定义证明：$f(x) = 2x + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
2. 用定义证明：$f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减。（提示：差式分解后第二个因子是 $1 - \dfrac{4}{x_1 x_2}$）
3. 求 $f(x) = (x^2 - 1)^2$ 的单调区间。
4. 已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，判断 $f(x^2 - 2x)$ 的单调性需要分几个区间讨论？

高考母题

（2020·全国Ⅱ卷） 设函数 $f(x)=\ln|2x+1|-\ln|2x-1|$，则 $f(x)$（ ）

A．是偶函数，且在 $\left(\dfrac12,+\infty\right)$ 单调递增

B．是奇函数，且在 $\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)$ 单调递减

C．是偶函数，且在 $\left(-\infty,-\dfrac12\right)$ 单调递增

D．是奇函数，且在 $\left(-\infty,-\dfrac12\right)$ 单调递减

展开详解

答案：D

第一步，定义域。 对数里的东西不能为零：

$$|2x+1|\neq0,\quad |2x-1|\neq0$$

所以 $x\neq-\dfrac12$ 且 $x\neq\dfrac12$，即定义域是 $\left(-\infty,-\dfrac12\right)\cup\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)\cup\left(\dfrac12,+\infty\right)$。关于原点对称——这是能谈奇偶的前提。

第二步，奇偶性。 代 $-x$：

$$f(-x)=\ln|1-2x|-\ln|-2x-1|=\ln|2x-1|-\ln|2x+1|=-f(x)$$

两项正好对调再取负，所以是奇函数。A、C 出局。

第三步，在 $\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)$ 上判增减。 这个区间里 $2x+1>0$、$2x-1<0$，绝对值可以直接拆：

$$f(x)=\ln(2x+1)-\ln(1-2x)$$

前半 $\ln(2x+1)$ 递增，后半是 $-\ln(1-2x)$——而 $\ln(1-2x)$ 递减，减函数的相反数是增函数。增函数加增函数，整个 $f(x)$ 递增。B 说的是递减，B 出局。

第四步，剩下 D。 顺手验一下 $\left(-\infty,-\dfrac12\right)$ 上：此时 $2x+1<0$、$2x-1<0$，

$$f(x)=\ln\frac{2x+1}{2x-1}=\ln\left(1+\frac{2}{2x-1}\right)$$

里面 $\mu=1+\dfrac{2}{2x-1}$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac12\right)$ 上递减，而 $\ln\mu$ 本身递增——内层减、外层增，复合起来递减。D 正确。

这道题在考什么： 正是本讲的三步固定套路——先定义域、再奇偶、后单调。但这题比课本结论多了层包装：绝对值在里头。破法就是分区间拆绝对值，每段内部回到你熟悉的形式。

易错点： 第三步里"增 + 增 = 增"人人都信，难的是看出 $-\ln(1-2x)$ 是增函数。记一条：减函数前面加负号，就是增函数。 还有第四步的复合：内层递减、外层递增，复合后递减（异号相乘得负，这个类比在单调性上一直成立）。

一句话总结

单调性是局部的，必须带区间说；证明就三步——任取、作差、变形判符号，其中"把差式变成乘积再逐因子判符号"是核心功夫；复合函数同增异减，但前提是同一区间。