函数图象——把规则画成一条线

描点连线，再用初等变换生成复杂图象

画图这件事，早就该升级了

初中画函数图象的方法，是"列表、描点、连线"，这个方法用到现在会很痛苦。

列表描点的问题是：你永远不知道自己漏了什么。画 $y = \dfrac{1}{x}$，你在 $x=1,2,3$ 各描一个点，连起来像一条下降的曲线；可 $x$ 从右边接近 0 时函数值冲向无穷，$x$ 从左边接近 0 时冲向负无穷——这两段"陡壁"你一个点都没描到。

高中画图的正确姿势是三步：先看定义域，再抓关键点，最后连趋势。

第一步：看定义域

定义域决定"描哪些点"，这是画图的地基。

$y = \dfrac{1}{x}$ 的定义域是 $x \ne 0$，所以 $x = 0$ 附近必须单独分析，不能连过去。 $y = \sqrt{x - 1}$ 的定义域是 $x \ge 1$，所以 $x < 1$ 一段直接不存在，不是"空着"，是"没有"。

画图前先圈出定义域，这条习惯能挡掉一半的错误。

第二步：抓关键点

哪些点是关键点？四类。

第一类：截距。 与 $y$ 轴交点是令 $x = 0$，与 $x$ 轴交点是解 $f(x) = 0$。它们给图象定了"落点"。

第二类：特殊函数值。 $f(0)$、$f(1)$、$f(-1)$ 常出特殊值（0、1、$-1$），是校验图象形状的锚点。

第三类：对称轴与对称中心。 第六讲、第七讲会细讲，这里先用：二次函数 $y = x^2 - 4x + 1$ 配方得 $(x-2)^2 - 3$，对称轴 $x = 2$、顶点 $(2, -3)$。抓住这两点，整个抛物线就定了。

第四类：区间端点。 定义域是 $[1, 5]$，那 $x=1$ 和 $x=5$ 必须描出来——闭区间端点是实心点，不能漏。

第三步：连趋势

关键点之间的连线靠"趋势"，不是"感觉"。趋势从哪来？从单调性来。

第六讲会证明 $y = x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，那你连出来的线就不能有往下走的一段；先证明 $y = \dfrac{1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，那右半支就只能一路向下。

顺序很重要：先判单调，再画线。 反过来先画线再找性质，容易画出一个"长得像但不对"的图象。

三类必须会的基本变换

图象变换不是死记，是"参数动了，图象跟着动"。

平移：左加右减，上加下减

$$y = f(x) \to y = f(x - a) + b$$

$a > 0$ 时图象向右移 $a$，$b > 0$ 时图象向上移 $b$。

左加右减这四个字年年有人搞反。记法很简单：看括号里的 $x$ 被替成了什么。 $y = f(x-2)$，是把每个 $x$ 都提前 2 完成，相当于整个图象往右挪 2 个单位——因为原来 $x=0$ 那个位置发生的事，现在发生在 $x=2$ 上。

伸缩：横着什么变，竖着什么变

$$y = f(x) \to y = f(\omega x)$$

$\omega > 1$ 时，图象在横向上被压缩为原来的 $1/\omega$。

这里也有个年年错的点：横着压缩，不是拉伸。 $y = \sin 2x$ 的周期是 $\pi$，比 $y = \sin x$ 的 $2\pi$ 短了一半，所以横着看是变窄了。记法：变化的量在分母上，就压缩；在分子上，就拉伸。

$$y = f(x) \to y = A f(x)$$

$A > 1$ 时，纵向拉伸 $A$ 倍。$y = 2\sin x$ 的最大值从 1 变 2，振幅翻倍。

翻转：正负号管翻哪边

$$y = f(x) \to y = -f(x)$$

关于 $x$ 轴翻转，最大值变最小值。

$$y = f(x) \to y = f(-x)$$

关于 $y$ 轴翻转。这一条配合第七讲奇偶性：$y = f(-x) = f(x)$ 就是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。

$$y = f(x) \to y = f^{-1}(x)$$

关于直线 $y = x$ 翻转，这是反函数的图象关系。对数函数图象正是指数函数图象翻过来的，第十二讲会用到。

用图象：三件它擅长的事

图象不是拿来看的，是拿来省掉计算的。

第一件：数交点

$y = 2^x$ 与 $y = x + 1$ 有几个交点？

画出来看：指数函数过 $(0,1)$ 单调递增，直线过 $(0,1)$ 斜率为 1。它们在原点相交。再看别处：$x = 1$ 时 $2^1 = 2 > 2 = 1+1$，指数在上；$x = -1$ 时 $2^{-1} = 0.5 > 0 = -1 + 1$，指数还是在上。

那是不是只有原点一个交点？不能只靠画两三个点下结论。 严格做法：设 $g(x) = 2^x - x - 1$，用导数证明 $g(x) \ge 0$ 且仅在 $x = 0$ 取等号。这要到导数专题才能做，高中阶段这类题通常是"画图给结论"或"给结论让你证"，认清它的证明在哪个年级，很重要。

第二件：比大小

不计算，直接比 $2^{0.3}$ 和 $0.3^2$。

$2^{0.3} > 2^0 = 1$，而 $0.3^2 = 0.09 < 1$。所以前者大。

用图象的语言：一条在 $y=1$ 上方的曲线，和一条在 $y=1$ 下方的曲线，不用算出具体值就能比。这是图象最实用的地方——用位置代替计算。

第三件：判断零点个数

$f(x) = \ln x - x + 2$ 有几个零点？

零点就是图象与 $x$ 轴交点的横坐标。画 $\ln x$（过 $(1,0)$、递增、上凸）和直线 $x - 2$，看它们交几次。

这个题画图能看出两个交点，但严格证明仍然要导数。"看图说两个"在考试里常常不能得分，但"看图知道该去证两个"是有价值的。 图象的价值一半在给结论，另一半在告诉你该往哪个方向证。

在高中数学体系里的位置

• 单调性（第六讲）是图象趋势的严格依据，两者互相翻译。
• 奇偶性、对称性（第七、八讲）画图象时省一半工夫：知道是偶函数，只画右半边，左半边镜像过去。
• 函数与方程（第十讲）的核心工具就是"画两个函数的图象数交点"。
• 导数（另一个专题）用导数画精确的增减、凸凹、极值，是这套方法的严格版。

思考与拓展

1. 画出 $y = |x - 1|$ 的图象，并写出它的单调区间。
2. $y = f(x)$ 的图象过 $(0, 1)$，那么 $y = f(x + 2) - 3$ 的图象必过哪个点？
3. 用图象说明：方程 $\ln x = -x$ 有几个实数解。
4. 已知 $f(x)$ 是奇函数，且 $x > 0$ 时 $f(x) = x^2$，画出 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的图象。

高考母题

（2026·天津） 函数 $f(x)$ 的部分图象如图所示，则 $f(x)$ 的解析式可能为（ ）

A．$x+\sin\pi x$　　B．$x-\sin\pi x$

C．$-x+\sin\pi x$　　D．$x\cdot\sin\pi x$

展开详解

答案：C

"看图选式子"，最快的刀法是往图上扎几个好算的点。

第一个观察：图关于原点对称。 所以 $f(x)$ 是奇函数。先记下。

第二个观察：$x=1$ 的时候，$f(1)<0$。 图在第四象限。

现在四个选项都往 $x=1$ 里代——注意 $\sin\pi=0$，这一下全变成纯数：

$$A:\ 1+\sin\pi=1+0=1>0\quad ✗$$ $$B:\ 1-\sin\pi=1-0=1>0\quad ✗$$ $$D:\ 1\times\sin\pi=1\times0=0\quad ✗$$

三个全被 $\sin\pi=0$ 这一下干掉。剩下 C：

$$C:\ -1+\sin\pi=-1+0=-1<0\quad ✓$$

再顺手验一下 C 确实是奇函数：

$$g(-x)=-(-x)+\sin(-\pi x)=x-\sin\pi x=-g(x)$$

奇函数，和图对上了。选 C。

这道题在考什么： 正是本讲说的"看图说话"——图给的是结论，但筛选可以极快。这里甚至不需要完整画图，只需要图告诉你的两件事（对称性 + 一个特殊点的正负号），就能把四个选项砍到只剩一个。

易错点： D 选项 $x\cdot\sin\pi x$ 长得"很像"那种抖动的曲线，容易凭印象选。图不能凭印象，要扎点验算。 代入 $x=1$ 它就露馅了——值是 0，不是负的。

一句话总结

画图三步走：先看定义域，再抓截距、特殊值、对称轴、端点四类关键点，最后按单调性连趋势；图象擅长数交点、比大小、判零点，但"看图说话"只给结论，证明必须回到定义。