解析式——把一个规则写成式子

三种求解析式的方法，换元后必查定义域

写法不止一种

第二讲说过，同一个函数可以穿不同衣服，解析式这件衣服的码数最多。

$f(x) = x^2$，也可以写成 $f(t) = t^2$、$f(u+1) = (u+1)^2$、$g(x) = (\sqrt{x})^2$（定义域限制在 $x \ge 0$）。它们是不是同一个函数，判据只有两条：定义域相同、对应关系相同。

可考试不问你"是不是同一个"这么便宜的问题。它换三种方式为难你：给的解析式不好用，要你换一个；给的解析式不完整，要你补；给的解析式看着像某个已知函数，要你认出来。

三件事逐一过关。

第一件事：换元——把陌生的式子换成熟悉的样子

换元法的本质：令 $t =$ 一个整体，把关于 $t$ 的式子换成关于 $x$ 的式子。

看最简单的例子。已知 $f(x + 1) = x^2 + 2x$，求 $f(x)$。

直接展开不行——右边是关于 $x$ 的，左边是关于 $x + 1$ 的，对不上。令 $t = x + 1$，则 $x = t - 1$，代进右边：

$$f(t) = (t - 1)^2 + 2(t - 1) = t^2 - 1$$

所以 $f(x) = x^2 - 1$。

注意最后一步：把 $t$ 改回 $x$。 这不是可有可无的形式主义，它保证你写出的是一个标准的"关于 $x$ 的函数"，能直接代入使用。

再看一层。已知 $f\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{x^2} + 1$，求 $f(x)$。

令 $t = \dfrac{1}{x}$，则 $x = \dfrac{1}{t}$，代进去：

$$f(t) = t^2 + 1$$

所以 $f(x) = x^2 + 1$。

这个例子暴露了换元的第二个门道：原来的自变量往往藏在分母里、根号里、对数里，令出来之后要做一次"解出来"的代数运算。 解错一次，整题全错。

第二件事：配凑——换元的快车道

有些题不用换元，直接凑。已知 $f(x) + 2f(-x) = 3x + 1$，求 $f(x)$。

这一类的标准解法是把 $x$ 换成 $-x$，再解二元一次方程组。

原式记作 (1)：

$$f(x) + 2f(-x) = 3x + 1 \qquad (1)$$

把 (1) 里所有 $x$ 换成 $-x$，得到 (2)：

$$f(-x) + 2f(x) = -3x + 1 \qquad (2)$$

目标是 $f(x)$，把 (2) 乘以 2：

$$2f(-x) + 4f(x) = -6x + 2 \qquad (3)$$

(3) 减 (1)：

$$3f(x) = -9x + 1$$

所以 $f(x) = -3x + \dfrac{1}{3}$。

这招的适用条件很宽：只要式子里的"另一项"是 $f($某个关于 $x$ 的表达式$)$，就把那个表达式想办法也凑出来。$f(x)$ 配 $f(-x)$、$f(x)$ 配 $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$、$f(x-1)$ 配 $f(x+1)$，全都一样的手法。

配凑比换元快在：不用猜 $t$ 该设成什么，硬解方程组就行。

第三件事：认脸——把式子翻译成熟悉的结构

有些式子看着吓人，认出来就简单了。

$$f(x) = \dfrac{2^x}{2^x + 1}$$

这一眼认不出来，但变形一下：分子分母同除以 $2^x$：

$$f(x) = \dfrac{1}{1 + 2^{-x}}$$

看出门道了吗？这是 $g(x) = \dfrac{1}{1 + a^{-x}}$ 的形状。

再看一个典型的。

$$f(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$$

这是双曲正弦 $\sinh x$。它在高中不考名字，但它的性质全都可以用指数函数推：它是奇函数（$f(-x) = -f(x)$），在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。这类"指数线性组合"的函数，高考题里经常以抽象形式出现。

认脸的目的不是省计算，是省思考。 认出它是二次函数，吐口而出的就是顶点、对称轴、最值三件套；认出它是对勾函数，开口向下、有最大值，位置在 $x = \sqrt{a}$ 处。

一类必错题：定义域不匹配

这一类题年年考，年年有人错。

看一个真正设陷阱的：$f(x) = x^2$（$x \in [0, 1]$）与 $g(x) = x^2$（$x \in [-1, 1]$）。

式子一模一样，定义域不同，不是同一个函数。

还有更阴的：$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ 与 $g(x) = x + 1$。

前者在 $x = 1$ 处没定义，定义域是 $x \ne 1$；后者定义域是 $\mathbb{R}$。不是同一个函数。 但在 $x \ne 1$ 的地方，它们的对应关系完全相同。

所以做题时必须同时检查两条：定义域、对应关系。漏任何一条，都可能把"不是同一个"答成"是"。

在高中数学体系里的位置

• 换元法是第六讲单调性证明、第九讲周期性的基础工具，构造新函数、拼凑对称轴都要用它。
• 待定系数法（已知 $f(x)$ 是二次函数，且 $f(0)=1, f(1)=0, f(2)=3$，求 $f(x)$）是第二讲定义域的下一站，也是第五讲最值的前置。
• 认脸这一招在导数专题里回报最高：认出 $\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$、$\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$，很多放缩题直接有结论。

思考与拓展

1. 已知 $f(x + 2) = x^2 - 1$，求 $f(x)$ 与 $f(x - 1)$。
2. 已知 $f(x) - f(-x) = 4x$，且 $f(0) = 1$，求 $f(x)$。
3. 已知 $f(x)$ 是二次函数，且 $f(0) = 3$，$f(1) = 0$，$f(-1) = 4$，求 $f(x)$。
4. 判断：$f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ 与 $g(x) = x + 2$ 是不是同一个函数？

高考母题

（2026·全国Ⅱ卷） 已知 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的偶函数，$f(x)+f(x-2)=0$，且当 $x\in\left[\dfrac32,3\right]$ 时，$f(x)=x^{2}+ax+b$，则（ ）

A．$a=-2$，$b=-3$　　B．$a=-2$，$b=3$

C．$a=-4$，$b=-3$　　D．$a=-4$，$b=3$

展开详解

答案：D

第一步：从 $f(x)+f(x-2)=0$ 里榨出周期。 这是本讲的典型手法——一个关系式，把 $x$ 换一换就能挤出更多信息。把 $x$ 换成 $x+2$：

$$f(x+2)+f(x)=0$$

再递一步：

$$f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$$

所以 周期 $T=4$。

第二步：用周期 + 偶函数找出对称轴。 题目给了 $x\in\left[\dfrac32,3\right]$ 时的解析式，这一段里 $f(1.5)$ 和 $f(2.5)$ 有什么关系？

$$f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)$$

第一个等号用偶函数，第二个等号用周期 4（$-2.5+4=1.5\ldots$ 即 $f(-2.5)=f(1.5)$）。总之 $1.5$ 和 $2.5$ 的函数值相等——而这两个点正在 $[1.5,3]$ 这段上，说明 $x=2$ 是 $x^{2}+ax+b$ 的对称轴：

$$-\frac{a}{2}=2\quad\Longrightarrow\quad a=-4$$

第三步：求 $b$。 从原式取 $x=1$：

$$f(1)+f(-1)=0$$

而 $f$ 是偶函数，$f(1)=f(-1)$，所以 $f(-1)=0$。又由周期性：

$$f(3)=f(-1)=0$$

代入已知解析式：

$$f(3)=9+3a+b=9-12+b=0\quad\Longrightarrow\quad b=3$$

$a=-4$，$b=3$，选 D。

这道题在考什么： 本讲讲的是"同一个函数，解析式写法绝不唯一"。这里更进一步——两个抽象关系（偶函数 + 那条等式）叠起来，硬是把两个 unknown 系数逼了出来。手法就是"换元"：把 $x$ 换成 $x+2$、换成 $1$、换成 $-1$，每次替换都是往同一个关系里多榨出一条信息。

易错点： 第二步里 $f(1.5)=f(2.5)$ 的推导链容易写乱。记住顺序：先偶函数把负的翻成正的，再用周期把大的缩回区间内。

一句话总结

同一个函数的解析式写法绝不唯一；换元是令 t 解回 x，配凑是把 x 换成 -x 解方程组，认脸省的是思考；判断同不同，定义域和对应关系两条都要查。