抽象函数——看不见式子，怎么抓住它

赋值法把抽象性质变成可算的等式

没有式子的函数

前两讲讲的函数都有解析式，这一讲讲的函数一个式子都不给。

抽象函数长这样：已知 $f(x+y) = f(x) + f(y)$，且 $f(1) = 2$，求 $f(2)$。

很多人一看就懵：没有式子，怎么算？

可你不知道的是，这个条件已经足够强了。强到能推出 $f(3)$、$f(10)$、$f\left(\dfrac{1}{2}\right)$，甚至能推出这个函数长什么样。你缺的不是信息，是从"一般形式"里读信息的方法。

核心武器：令自变量取特殊值

抽象函数全部技巧，归根结底一句话——令 $x$、$y$ 取一些特别的数，把一般形式里的信息挤出来。

拿 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 试试。第一步永远一样：令 $x = 0$、$y = 0$。

$$f(0) = f(0) + f(0)$$

两个 $f(0)$ 相加等于 $f(0)$，这只可能是 $f(0) = 0$。第一条信息出来了。

再令 $y = -x$：

$$f(0) = f(x) + f(-x)$$

左边已经知道是 0，于是

$$f(-x) = -f(x)$$

第二条信息：这是个奇函数。

再看题目给了 $f(1) = 2$。要求 $f(2)$，就令 $x = y = 1$：

$$f(2) = f(1) + f(1) = 4$$

要 $f(3)$，令 $x=1, y=2$：$f(3) = f(1) + f(2) = 6$。规律已经藏不住了：

$$f(n) = 2n$$

那 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ 呢？令 $x = y = \dfrac{1}{2}$：

$$f(1) = 2f\left(\dfrac{1}{2}\right) \implies f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1$$

一路下来，这个函数已经被锁死了。事实上可以证明：满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 且 $f(1)=2$ 的函数，只能是 $f(x) = 2x$。但证明这一点需要连续性的条件，高中阶段不碰，你只要会用"令特殊值"这一招就够做题了。

三类常考形式

抽象函数来来去去就那几种，认得出形式，方法就是现成的。

第一类：可加型

$$f(x+y) = f(x) + f(y)$$

原型是 $f(x) = kx$。对应高考题里的情景：$(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 两点连线中点性质、线段比例。

处理顺序固定：先 $x=y=0$ 得 $f(0)$，再 $y=-x$ 看奇偶，最后用具体数值。

第二类：可乘型

$$f(xy) = f(x) f(y)$$

原型是对数函数 $f(x) = \log_a x$。处理手法完全平行，只是加号全换成乘号：

令 $x=y=1$：$f(1) = f(1)^2$，所以 $f(1) = 0$ 或 $1$。

令 $y = \dfrac{1}{x}$：$f(1) = f(x) f\left(\dfrac{1}{x}\right)$。

这道题常配一句 $f(2) = 1$，问 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$。令 $x=2, y=\dfrac{1}{2}$ 得 $f(1) = f(2) \cdot f\left(\dfrac{1}{2}\right)$，若 $f(1)=0$ 则 $f(2)=0$，与已知矛盾，故 $f(1)=1$，于是 $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1$。

注意这一步的用法：用已知条件排除掉 $f(1)$ 的两种可能。 这是抽象函数最常用的技巧之一——算出多个候选，再用题目条件逐一筛。

第三类：递推型

$$f(x) = a f(x - 1) + b$$

原型是等比数列，$a \ne 1$ 时可设不动点解。这类到第十讲数列还会再见，这里先记住手感：每写出一个 $f(x)$，就等于多知道一个等式，等式之间可以相减消元。

抽象函数与具体函数的对应

题目不告诉你原型，但式子本身会暴露它。认得出原型，很多题能秒答。

抽象形式	具体原型	高考常考的点
$f(x+y) = f(x) + f(y)$	$kx$	奇偶性、$f(n)$ 求值
$f(xy) = f(x) + f(y)$	$\log_a x$	$f(1)$ 的两种可能、奇偶
$f(xy) = f(x)f(y)$	$x^n$ 或指数	$f(1)$ 取值、单调性
$f(x) + f(-x) = 0$	奇函数	定义域对称性
$f(x) = f(-x)$	偶函数	对称轴

这张表不是让你背原型，是让你"认脸"。 高考题几乎不直接背这些形式，而是把它们套在一个具体问题外面。比如：已知 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $x > 0$ 时 $f(x) = x^2$，求 $f(-2)$。这题的解法就用 $f(-2) = -f(2) = -4$。

赋值不是乱赋

抽象函数最容易翻车的地方：令出来的值不在定义域里。

$f(xy) = f(x)f(y)$ 这类式子，如果题目说定义域是 $(0, +\infty)$，那 $y = \dfrac{1}{x}$ 可以令，$y = -x$ 就不能令，因为 $-x$ 不在定义域里。

还有一类题专门考这个：已知 $f$ 的定义域是 $[-2, 2]$，问 $f(x-1)$ 的定义域。答案是 $[-1, 3]$，用的是第二讲那句话——拿新表达式去套旧定义域：$-2 \le x - 1 \le 2$。

在高中数学体系里的位置

• 单调性、奇偶性是抽象函数最好的搭档：给了抽象形式再问单调区间，一律用定义作差，不要试图找解析式。
• 不等式题："已知 $f$ 是奇函数且单调递增，$f(a) + f(2a - 1) < 0$，求 $a$ 范围"——先把 $f(2a-1) < -f(a) = f(-a)$，再用单调性去掉 $f$。
• 对称性（第七、八讲）会给出新的抽象形式：$f(a+x) = f(a-x)$ 表示关于 $x=a$ 对称。

思考与拓展

1. 已知 $f(x+y) = f(x) + f(y)$，且 $f(2) = 6$，求 $f(3)$ 与 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$。
2. 已知 $f(xy) = f(x) + f(y)$，且 $f(8) = 3$，求 $f(2)$ 与 $f(\sqrt{2})$。
3. 定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f$ 满足 $f(x) \cdot f(-x) = 1$，且 $f(2) = 3$，求 $f(-2)$。
4. 已知 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时 $f(x) = x^2 + 1$，求 $f(-3)$ 与 $f(0)$。

高考母题

（2019·全国Ⅱ卷） 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，满足 $f(x+1)=2f(x)$，且当 $x\in(0,1]$ 时，$f(x)=x(x-1)$。若对任意 $x\in(-\infty,m]$，都有 $f(x)\geq-\dfrac{8}{9}$，则 $m$ 的取值范围是（ ）

A．$\left(-\infty,\dfrac{9}{4}\right]$　　B．$\left(-\infty,\dfrac{7}{3}\right]$

C．$\left(-\infty,\dfrac{5}{2}\right]$　　D．$\left(-\infty,\dfrac{8}{3}\right]$

展开详解

答案：B

这道题是抽象函数的经典考法：只给你一小段表达式和一条递推关系，却要你推出整条曲线。

第一条线索藏在 $f(x+1)=2f(x)$ 里。 把它改写一下：

$$f(x)=2f(x-1)$$

意思是：往右移一个单位，函数值变成 2 倍。

第二条线索是已经给的那一小段： $x\in(0,1]$ 时 $f(x)=x(x-1)$。这一段你会画——它是开口向上的抛物线，在 $(0,1)$ 上是负的，最低点在 $x=\dfrac12$ 处：

$$f\left(\frac12\right)=\frac12\times\left(-\frac12\right)=-\frac14$$

两条例外合起来，下一段就出来了：

$$2<x\leq3:\quad f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3)$$

同样开口向上，但最深的地方压到了 $4\times\dfrac14=-1$——每一次向右移，谷底就深一倍。这就是指数型函数的厉害之处：形状完全一样，深度指数式增长。

现在找临界点。 题目要 $f(x)\geq-\dfrac89$ 在 $(-\infty,m]$ 上恒成立，也就是要找：从左边数过来，第一个跌破 $-\dfrac89$ 的点在哪。

在 $2<x\leq3$ 这一段里解：

$$4(x-2)(x-3)=-\frac89$$

整理：

$$9x^{2}-45x+56=0\quad\Longrightarrow\quad(3x-7)(3x-8)=0$$ $$x_1=\frac{7}{3},\quad x_2=\frac{8}{3}$$

两个解里取小的那个 $\dfrac73$（从左往右第一个跌破的地方）。

所以 $m\leq\dfrac73$，即 $m\in\left(-\infty,\dfrac73\right]$，选 B。

这道题在考什么： 正是本讲说的——看不见式子，怎么抓住它。这里"抓住"的办法就是两件事：吃透递推式（每移一位深度翻倍）+ 用好已知的那一小段（它是种子，长出一整片）。抽象函数从来不给你全貌，给你的是"种子"和"生长规则"。

易错点： 解出两个根时，容易随手取大的那个。这题要的是"从左往右第一个临界点"，因为 $(-\infty,m]$ 是从左边一路 covering 过来的。两个根里 $\dfrac73$ 先到，$m$ 一旦越过它，那个区间里就包含 $-\dfrac89$ 以下的点了。

一句话总结

抽象函数的全部招数就是"令特殊值"：先令零、再令相反数、最后令题目给过的数；令出来的值必须落在定义域里，原型认得出就能秒答。