定义域与值域——先问「在哪里」，再问「是什么」

定义域管 x，值域管 f(x)，各有一套求法

一句被跳过的话

第一讲讲"函数是机器"，这一讲讲这台机器运转的边界。

绝大多数人学函数，注意力全在"对应关系是什么"上，因为那部分能变形、有技巧、看起来像数学。定义域和值域像是附赠品，写着"请注意定义域"的小字，扫一眼就过去了。

可第一讲那句话在这里要再念一遍：定义域是函数的出生证明，脱离了它谈函数的一切，都是无源之水。

更要紧的是这两个概念方向相反：定义域管"哪些数可以喂进去"，值域管"能吐出哪些数"。搞混这两个方向，后面所有的题都会做反。

定义域：把不能去的地方划掉

求定义域本质上是减法——不是去求能取什么，而是把不能取的一个个排除，剩下的就是定义域。

同一函数有三种写法，对应三种处理办法。

解析式给出的定义域：三条铁律加一条附则

三条铁律，说白了就是三种运算的"禁区"：

1. 分式——分母不能为零。
2. 偶次根式——根号里的数不能为负。
3. 对数——真数必须为正。

外加一条容易被忘的：零指数幂。$a^0$ 要求 $a \ne 0$；负指数幂 $a^{-p}$ 要求 $a \ne 0$。

看一个把所有坑都埋上的例子：

$$f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{(x - 2)(x - 3)}$$

分母不能为零：$x \ne 2$ 且 $x \ne 3$。根号里非负：$x \ge 1$。

先各自扫出禁区，再取交集。定义域是 $[1, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$。

关键在"交集"这两个字。 分式单独看是"除掉两个点"，根号单独看是"留下右半条射线"，两个条件必须同时满足。求定义域最常见的错，就是只满足其中一条，写出一个看似完整、实则过宽的答案。

实际意义给出的定义域：题意说了算

有些定义域不在式子里，在题目的字里。

一个经典例子：把一段长为 $L$ 的篱笆围成矩形，长 $x$ 宽 $y$，写出面积 $S$ 关于 $x$ 的函数。式子随便写，$S = x(L/2 - x)$。但定义域是什么？$(0, L/2)$。为什么不到 0 且不取等号？因为长为零就不成矩形了，取到零就变成了线段。

这类定义域必须自己想起来，没人提醒你。 三角形两边之和大于第三边，圆的半径为正，班级人数是整数——它们都是定义域的一部分，写漏了这题就错，不是扣步骤分，是扣结论分。

抽象函数：靠"输入必须合法"倒推

第三讲会专门讲抽象函数。这里先埋一个引子：已知 $f(x)$ 的定义域是 $[0, 2]$，问 $f(x - 1)$ 的定义域是什么？

答案是 $[1, 3]$。

解法只有一条逻辑，值得现在就习惯它：括号里的东西，必须落在原函数的定义域里。 $f$ 这台机器只接受 $[0, 2]$ 里的输入，现在喂给它的是 $x - 1$，那就要求

$$0 \le x - 1 \le 2$$

解出来 $1 \le x \le 3$。

注意这个方向：是拿新的表达式去套旧的定义域，不是拿旧的定义域去套新的表达式。 有人答 $[-1, 1]$，那是"每个元素都减 1"，错在把方向搞反了。这一句话能解一大类高考题，而它全部的依据，就是第一讲的"机器"眼光。

值域：看它到底能走多远

值域是函数值的全体，是加法——从零开始，一点点看它能到达什么地方。

求值域没有万能公式，只有几条路。高考里最常见的四条，按出现频率排：

配方法——对付二次函数

$$f(x) = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 3$$

整个实数域上，平方项最小为 0，所以值域 $[-3, +\infty)$。

这是最可靠的一条路：能配成完全平方，就配。 定义域若有限制，比如 $x \in [1, 5]$，那最小值在 $x = 2$ 处取 $-3$，最大值在端点 $x = 5$ 处取 6，值域变成 $[-3, 6]$。闭区间上二次函数的最值，永远看两个地方：顶点、端点。

换元法——对付根式与复合结构

$$f(x) = x + \sqrt{x - 1}$$

令 $t = \sqrt{x - 1}$，则 $t \ge 0$，且 $x = t^2 + 1$。代回去：

$$f = t^2 + 1 + t = t^2 + t + 1, \quad t \ge 0$$

这是一个二次函数在 $[0, +\infty)$ 上的值域问题，$t = 0$ 时最小，值域 $[1, +\infty)$。

换元法的关键不是"换"，是"换完盯住新变量的范围"。 令 $t = \sqrt{x-1}$ 就必须写 $t \ge 0$，漏了这一条，整个题就白换了。

判别式法——对付有理分式

$$f(x) = \dfrac{2x}{x + 1}$$

定义域 $x \ne -1$。设 $y = \dfrac{2x}{x+1}$，看成关于 $x$ 的方程解 $y$：

$$y(x + 1) = 2x \implies (y - 2)x = -y$$

当 $y \ne 2$ 时可以解出 $x = \dfrac{-y}{y - 2}$，只要分母不为零，这个 $x$ 都存在。所以值域里不能有 2，即值域为 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$。

反过来验证一下：能否取到 2？若 $y = 2$，方程变成 $0 = -2$，无解。所以 2 确实取不到。

判别式法有个隐患：它默认 $x$ 是实数。 若 $x$ 有别的限制（比如整数），这条路就不通了。

单调性法——对付"看得出增减"的函数

$$f(x) = x + \dfrac{1}{x}, \quad x > 0$$

在 $(0, 1]$ 上递减，在 $[1, +\infty)$ 上递增，$x = 1$ 时取最小值 2，值域 $[2, +\infty)$。

单调性法通常配基本不等式一起用，这也是第三讲抽象函数之后、第四讲图象之前的一个接口。

定义域与值域的方向，千万别反

这两概念一进一出，方向搞反了一切全错。看三组最容易混的对照：

第一问是定义域的问题："$f$ 作用在哪些数上"——问的是输入集合，用"减法"，答的是 $x$ 的范围。

第二问是值域的问题："$f$ 吐出哪些数"——问的是输出集合，用"加法"，答的是 $f(x)$ 的范围。

第三问是"定义域变不变"的问题："$f(x)$ 的定义域是 $[0,2]$，那 $f(2x)$ 呢"——答案是 $[0,1]$，因为 $0 \le 2x \le 2$。

三问考的都是同一台机器，可问的三件事完全不同。做题时先圈出问的是哪一件事，再动手。

在高中数学体系里的位置

定义域和值域不只是两个要背的名词，它们贯穿高中函数的全部：

• 求单调区间之前，必须先有定义域，否则会写出 $(-\infty, 2)$ 这种"根本不存在"的区间。
• 画图象之前，定义域决定"描哪些点"，值域决定"纵轴画多高"。
• 奇偶性判断之前，先看定义域是否关于原点对称——不对称，直接判定非奇非偶，一秒都不用多想。
• 第三讲的抽象函数，所有的推理都建立在"输入合法"这四个字上。

思考与拓展

1. 求 $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 3} + \ln (5 - x)$ 的定义域。
2. 求 $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$ 的值域，并写出取不到的那个数。
3. 已知 $f(x)$ 的定义域是 $[1, 4]$，求 $f(2x - 1)$ 的定义域。（提示：还是拿 $2x-1$ 去套 $[1,4]$）
4. 用长为 $L$ 的篱笆靠墙围一个矩形院子（墙足够长，只用三面），写出面积 $S$ 关于宽 $x$ 的函数，并写出定义域。

高考母题

（2025·北京） 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则"$f(x)$ 的值域为 $\mathbf{R}$"是"对任意 $M\in\mathbf{R}$，存在 $x_0\in D$，使得 $\left|f(x_0)\right|>M$"的（ ）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件

展开详解

答案：A（充分不必要条件）

这题不考计算，考的是把"值域是 $\mathbf{R}$"这句话翻译成数学语言。

先证充分性。 假设 $f(x)$ 的值域确实是 $\mathbf{R}$。那么随便给我一个 $M$，我要找一个 $x_0$ 使得 $\left|f(x_0)\right|>M$。

既然值域是整个 $\mathbf{R}$，$|M|+1$ 这个数就一定落在值域里——也就是说，一定有某个 $x_1\in D$ 使 $f(x_1)=|M|+1$。取 $x_0=x_1$，那么 $\left|f(x_0)\right|=|M|+1>M$，成立。充分性没问题。

再证必要性——这里要举反例。 取 $f(x)=2^{x}$，$D=\mathbf{R}$。它的值域是什么？

$$f(x)=2^{x}>0$$

值域是 $(0,+\infty)$，不是 $\mathbf{R}$。可是后面那个条件照样成立：对任意 $M$，解 $2^{x}=|M|+1$ 得 $x=\log_2(|M|+1)$，一定在 $\mathbf{R}$ 里。所以"值域为 $\mathbf{R}$"这个条件推不出来。

充分但不必要，选 A。

这道题在考什么： 正是本讲说的——定义域是减法（划掉不能去的地方），值域是加法（看它到底能到哪）。

而"值域是 $\mathbf{R}$"的准确含义是：整个实数轴一个不漏，全都能够到。题目给的那个带绝对值的形式，其实只要求"能够到任意远"——比"一个不漏"弱得多。$2^x$ 半个轴都到不了，却满足后者。

易错点： "值域是 $\mathbf{R}$"和"值无界"是最容易被混为一对的两句话。无界只要求往外跑没限制（可以只在正半边跑），是全取是要求一个都不缺。

一句话总结

定义域是减法，把不能去的一个个划掉，还常要"看题意"；值域是加法，看它到底能走多远；换了输入先拿新表达式去套旧定义域，方向别反。