导数综合——压轴题的思路与策略

(1) $\left ( { ln2 } \right )x+y-ln2=0$ ； (2) 令 $g\left ( { x } \right )=f\left ( { \frac { 1 } { x } } \right )=\left ( { x+a } \right )ln\left ( { \frac { 1 } { x }+1 } \right )$ ， 函数的定义域满足 $\frac { 1 } { x }+1=\frac { x+1 } { x }>0$ ，即函数的定义域为 $\left ( { -∞,-1 } \right )∪\left ( { 0,+∞ } \right )$ ， 定义域关于直线 $x=-\frac { 1 } { 2 }$ 对称，由题意可得 $b=-\frac { 1 } { 2 }$ ， 由对称性可知 $g\left ( { -\frac { 1 } { 2 }+m } \right )=g\left ( { -\frac { 1 } { 2 }-m } \right )\left ( { m>\frac { 1 } { 2 } } \right )$ ， 取 $m=\frac { 3 } { 2 }$ 可得 $g\left ( { 1 } \right )=g\left ( { -2 } \right )$ ， 即 $\left ( { a+1 } \right )ln2=\left ( { a-2 } \right )ln\frac { 1 } { 2 }$ ，则 $a+1=2-a$ ，解得 $a=\frac { 1 } { 2 }$ ， 经检验 $a=\frac { 1 } { 2 },b=-\frac { 1 } { 2 }$ 满足题意，故 $a=\frac { 1 } { 2 },b=-\frac { 1 } { 2 }$ . 即存在 $a=\frac { 1 } { 2 },b=-\frac { 1 } { 2 }$ 满足题意. (3) $\left ( { 0,\frac { 1 } { 2 } } \right )$ . 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数 $b$ 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数 $a$ 的方程，解方程可得实数 $a$ 的值，最后检验所得的 $a,b$ 是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数 $g\left ( { x } \right )�=ax ^ { 2 } +x-\left ( { x+1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )$ ，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论 $a≤0$ ， $a≥\frac { 1 } { 2 }$ 和 $0 < a < \frac { 1 } { 2 }$ 三中情况即可求得实数 $a$ 的取值范围. （1）当 $a=-1$ 时， $f\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { 1 } { x }-1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )$ ， 则 $f'\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }×ln\left ( { x+1 } \right )+\left ( { \frac { 1 } { x }-1 } \right )×\frac { 1 } { x+1 }$ ， 据此可得 $f\left ( { 1 } \right )=0,f'\left ( { 1 } \right )=-ln2$ ， 函数在 $\left ( { 1,f\left ( { 1 } \right ) } \right )$ 处的切线方程为 $y-0=-ln2\left ( { x-1 } \right )$ ， 即 $\left ( { ln2 } \right )x+y-ln2=0$ . （2）略 （3）由函数的解析式可得 $f'\left ( { x } \right )=\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )ln\left ( { x+1 } \right )+\left ( { \frac { 1 } { x }+a } \right )\frac { 1 } { x+1 }$ ， 由 $f\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 存在极值点，则 $f'\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上存在变号零点; 令 $\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )ln\left ( { x+1 } \right )+\left ( { \frac { 1 } { x }+a } \right )\frac { 1 } { x+1 }=0$ ， 则 $-\left ( { x+1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )+\left ( { x+ax ^ { 2 } } \right )=0$ ， 令 $g\left ( { x } \right )�=ax ^ { 2 } +x-\left ( { x+1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )$ ， $f\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 存在极值点，等价于 $g\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上存在变号零点， $g'\left ( { x } \right )=2ax-ln\left ( { x+1 } \right ),g''\left ( { x } \right )=2a-\frac { 1 } { x+1 }$ 当 $a≤0$ 时， $g'\left ( { x } \right ) < 0$ ， $g\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上单调递减， 此时 $g\left ( { x } \right ) < g\left ( { 0 } \right )=0$ ， $g\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上无零点，不合题意; 当 $a≥\frac { 1 } { 2 }$ ， $2a≥1$ 时，由于 $\frac { 1 } { x+1 } < 1$ ，所以 $g''\left ( { x } \right )>0,g'\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上单调递增， 所以 $g'\left ( { x } \right )>g'\left ( { 0 } \right )=0$ ， $g\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上单调递增， $g\left ( { x } \right )>g\left ( { 0 } \right )=0$ ， 所以 $g\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上无零点，不符合题意； 当 $0 < a < \frac { 1 } { 2 }$ 时，由 $g''\left ( { x } \right )=2a-\frac { 1 } { x+1 }=0$ 可得 $x=\frac { 1 } { 2a }-1$ ， 当 $x∈\left ( { 0,\frac { 1 } { 2a }-1 } \right )$ 时， $g''\left ( { x } \right ) < 0$ ， $g'\left ( { x } \right )$ 单调递减， 当 $x∈\left ( { \frac { 1 } { 2a }-1,+∞ } \right )$ 时， $g''\left ( { x } \right )>0$ ， $g'\left ( { x } \right )$ 单调递增， 故 $g'\left ( { x } \right )$ 的最小值为 $g'\left ( { \frac { 1 } { 2a }-1 } \right )=1-2a+ln2a$ ， 令 $m\left ( { x } \right )=1-x+lnx\left ( { 0 < x < 1 } \right )$ ，则 $m'\left ( { x } \right )=\frac { -x+1 } { x }>0$ ， 函数 $m\left ( { x } \right )$ 在定义域内单调递增， $m\left ( { x } \right ) < m\left ( { 1 } \right )=0$ ， 据此可得 $1-x+lnx < 0$ 恒成立， 则 $g'\left ( { \frac { 1 } { 2a }-1 } \right )=1-2a+ln2a < 0$ ， 由一次函数与对数函数的性质可得，当 $x→+∞$ 时， $g'\left ( { x } \right )=2ax-ln\left ( { x+1 } \right )→+∞$ ， 且注意到 $g'\left ( { 0 } \right )=0$ ， 根据零点存在性定理可知: $g'\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上存在唯一零点 $x_{ 0 }$ . 当 $x∈\left ( { 0,x_{ 0 } } \right )$ 时， $g'\left ( { x } \right ) < 0$ ， $g\left ( { x } \right )$ 单调减， 当 $x∈\left ( { x_{ 0 } ,+∞ } \right )$ 时， $g'\left ( { x } \right )>0$ ， $g\left ( { x } \right )$ 单调递增， 所以 $g\left ( { x_{ 0 } } \right ) < g\left ( { 0 } \right )=0$ . 令 $n\left ( { x } \right )=lnx-\sqrt{ x }$ ，则 $n'\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { x }-\frac { 1 } { 2\sqrt{ x } }=\frac { 2-\sqrt{ x } } { 2x }$ ， 则函数 $n\left ( { x } \right )=lnx-\sqrt{ x }$ 在 $\left ( { 0,4 } \right )$ 上单调递增，在 $\left ( { 4,+∞ } \right )$ 上单调递减， 所以 $n\left ( { x } \right )≤n\left ( { 4 } \right )=ln4-2 < 0$ ，所以 $lnx < \sqrt{ x }$ ， 所以 $g\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } } } \right )�=\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right )\left[ a\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right )-ln\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right )-\frac { 1-a } { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 }-2a+1 \right]$ $�>\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right )\left[ \frac { { 4 } } { a }+a-ln\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right )+a-1-2a+1 \right]$ $=\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right )\left[ \frac { { 4 } } { a }-ln\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right ) \right]>\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right )\left ( { \frac { { 4 } } { a }-\sqrt{ \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } } \right )$ $=\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right )\frac { \frac { { 1 }{ 6 } } { a ^ { 2 } }-\frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }-1 } { \frac { { 4 } } { a }+\sqrt{ \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } }=\left ( { \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } \right )\frac { \frac { { 1 }{ 2 } } { a ^ { 2 } }-1 } { \frac { { 4 } } { a }+\sqrt{ \frac { { 4 } } { a ^ { 2 } }+1 } }>0$ ， 所以函数 $g\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数 $a$ 得取值范围是 $\left ( { 0,\frac { 1 } { 2 } } \right )$ . 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.