第14讲 导数与数列不等式——离散与连续的交汇

核心思想

数列不等式证明，本质上是找一个连续函数，利用导数研究这个函数的性质，然后把结论"移植"到离散的整数点上。

常见手法：

1. 找一个函数 $f(x)$，使得数列的通项 $a_n = f(n)$
2. 用导数研究 $f(x)$ 的性质（单调性、最值）
3. 得到 $f(x)$ 的不等式，代入 $x = n$ 得到数列不等式

示意图

经典应用一：放缩法

证明：$\dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2} < 2$。

思路：放缩通项，然后裂项相消。

所以：

这里的关键放缩 $\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{k(k-1)}$ 可以从函数 $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ 的单调性理解——它比 $\dfrac{1}{x(x-1)}$ 下降得更快。

经典应用二：用函数单调性证数列单调

设 $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$，证明 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界。

构造函数 $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$（$x > 0$）。

取对数：$\ln f(x) = x\ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$。

求导分析单调性……这个过程比较繁琐，但关键是：

把数列问题转化为函数问题，用导数工具解决，再把结论回到数列上。

经典应用三：积分放缩

对于单调递减的正项数列，可以用积分放缩：

比如证明 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n}$，可以用 $\dfrac{1}{\sqrt{k}} < 2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1})$ 放缩。

在高中数学体系里的位置

导数与数列的结合，是高考压轴题的典型风格。难度高，但思路有规律可循。

核心思维：离散问题连续化——用连续函数（可导函数）的工具处理离散数列的问题。

思考与拓展

1. 用导数证明：数列 $a_n = \dfrac{\ln n}{n}$ 从第 3 项开始单调递减。
2. 证明：$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)} = 1 - \dfrac{1}{n+1}$。
3. 你能用积分放缩证明 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n} - 1$ 吗？
4. 已知 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \dfrac{1}{a_n^2}$，证明 $a_n > \sqrt[3]{3n}$ 对所有 $n \ge 1$ 成立。（提示：构造函数 $f(x) = x^3 - 3x$）

一句话总结

把数列看成离散的函数，用连续函数（可导）的工具去分析，这就是导数与数列交汇的核心思想。