第10讲 导数与方程的根——零点问题的系统处理

方程的根与函数的零点

方程 $f(x) = 0$ 的根，就是函数 $y = f(x)$ 的零点（与 x 轴的交点横坐标）。

研究方程根的个数，等价于研究函数的零点个数。

基本方法：图像法

1. 画出（或想象出）函数的图像
2. 看图像与 x 轴有几个交点
3. 交点的个数就是根的个数

但考试中通常不能画图，所以需要更严格的方法。

导数法——确定根的个数

步骤：

1. 求导数 $f'(x)$，找到单调区间
2. 确定极值点的函数值
3. 结合端点值和极限，判断零点个数

核心工具——零点定理： 如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则在 $(a,b)$ 内至少有一个零点。

经典例题

证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在 $(0, 1)$ 内有且只有一个实根。

解：设 $f(x) = x^3 - 3x + 1$。

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$。在 $(0, 1)$ 上 $f'(x) < 0$，所以 $f$ 在 $(0,1)$ 上严格递减。

$f(0) = 1 > 0$，$f(1) = -1 < 0$。由零点定理，$(0,1)$ 内至少有一个根。

又因为 $f$ 在 $(0,1)$ 上严格递减，所以根唯一。证毕。

示意图

含参方程根的讨论

已知方程 $x^3 - 3x + a = 0$ 有三个不同的实根，求 $a$ 的取值范围。

解：设 $f(x) = x^3 - 3x + a$，$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$。

极大值点 $x = -1$，极小值点 $x = 1$。

要有三个根，需要极大值 $> 0$ 且极小值 $< 0$：

$f(-1) = -1 + 3 + a = a + 2 > 0 \Rightarrow a > -2$

$f(1) = 1 - 3 + a = a - 2 < 0 \Rightarrow a < 2$

所以 $-2 < a < 2$。

在高中数学体系里的位置

导数与方程根的问题，是高考导数大题的高频考点。难度中等，核心方法是"求导→找极值→看极值符号→定根的个数"。

思考与拓展

1. 证明方程 $e^x = 3x$ 有两个不同的实根。
2. 已知方程 $x\ln x = a$ 有两个不同的实根，求 $a$ 的取值范围。
3. 你能用导数方法证明：方程 $x^5 + x - 1 = 0$ 有且只有一个实根吗？
4. 对于方程 $x^3 - 3x^2 + 3x - a = 0$，当 $a$ 取何值时有三个不同实根？

一句话总结

方程根的个数 = 函数零点的个数。用导数找极值，用极值符号判断根的个数，用零点定理确认根的存在。